Produit scalaire, Norme
Le produit scalaire, dénoté par $\cdot$, est une opération que l’on applique à deux vecteurs $\ve{u}$ et $\ve{v}$ pour obtenir un scalaire $\ve{u} \cdot \ve{v}$.
Lorsque je vois le mot scalaire dans le contexte des premières semaines de l’UE du Mathématiques 1 du PMC, je ne me pose pas la moindre question : Scalaire = Réel.
Considérons un vecteur $$\vec{u}=\left(\begin{array}{l}x_u \\ y_u \\ z_u\end{array}\right)$$ dont les coordonnées $x_u, y_u$ et $z_u$ sont données par rapport à une base fixée $\mathcal{B}$ de l’espace (que nous n’avons pas besoin de spécifier explicitement tant que l’on manipule les colonnes de coordonnées associées aux vecteurs), ainsi qu’un vecteur $$\vec{v}=\left(\begin{array}{l}x_v \\ y_v \\ z_v\end{array}\right)$$ dont les coordonnées $x_v, y_v$ et $z_v$ sont données par rapport à la même base.
Le produit scalaire de ces deux vecteurs est donné par
$$\begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{v} &=\left(\begin{array}{l}x_u \\ y_u \\ z_u\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}x_v \\ y_v \\ z_v\end{array}\right) \\ &=x_u x_v+y_u y_v+z_u z_v \end{aligned}$$
La quantité $x_u x_v+y_u y v+z_u z_v $ résultant du calcul de ce produit scalaire est un réel. Ce n’est pas un vecteur !
Soit
$$\vec{u}=\left(\begin{array}{l}x_u \\ y_u \\ z_u\end{array}\right)$$
un vecteur de l’espace, dont les coordonnées sont exprimées par rapport à une base $\mathcal{B}$.
La norme $\|\vec{u}\|$ de $\ve{u}$ est la quantité
$$\|\vec{u}\|=\sqrt{x_u^2+y_u^2+z_u^2}$$
Si $\ve{u}$ est un vecteur du plan, i.e., on a $$\vec{u}=\left(\begin{array}{l} x_u \\ y_u \end{array}\right)$$ alors
$$\|\vec{u}\|=\sqrt{x_u^2+y_u^2}.$$
Gardez toujours en tête que pour tout vecteur $\ve{u}$, on a $$ \ve{u} \cdot \ve{u} = \|\vec{u}\|^2. $$De façon équivalente, on a $$\|\vec{u}\| = \sqrt{ \ve{u} \cdot \ve{u}} $$ où l’on note que $\ve{u} \cdot \ve{u}$ est une quantité toujours supérieure ou égale à zéro, ce qui nous permet de prendre sa racine carrée.
Retenez bien le fait que la norme d’un vecteur du plan, de l’espace (ou même en dimension supérieure, comme vous le verrez durant votre cursus) est la racine carrée de la somme des carrés des coordonnées du vecteur. De façon équivalente, nous pouvons dire que le carré de la norme d’un vecteur est égal à la somme des carrés des coordonnées du vecteur. Gardez aussi en tête que la norme d’un vecteur est toujours positive. Le seul vecteur ayant une norme nulle est le vecteur nul $\ve{0}$.
Apprenez par coeur l’importante formule qui stipule que pour tous vecteurs $\ve{u}$, $\ve{v}$, on a
$$\vec{u} \cdot \vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\| \cos (\alpha).$$
Gardez bien à l’esprit que deux vecteurs $\ve{u}, \ve{v}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire $\ve{u} \cdot \ve{v}$ est nul.
Si l’on suppose que la base $\mathcal{B}$ de l’espace par rapport à laquelle les coordonnées des vecteurs sont exprimées est $(\ve{i},\ve{j},\ve{k})$, et que cette base est orthonormée (normée & orthogonale) alors remarquez que l’on a
$$\ve{i} = \begin{pmatrix} 1 \\0 \\0\end{pmatrix}, \quad \ve{j} = \begin{pmatrix} 0 \\1 \\0\end{pmatrix}, \quad \ve{k} = \begin{pmatrix} 0 \\0 \\1\end{pmatrix}$$
Cela est fort pratique, car prendre le produit scalaire d’un vecteur $$\vec{v}=\left(\begin{array}{l}x_v \\ y_v \\ z_v\end{array}\right)$$ avec le vecteur de base nous permet de récupérer directement les coordonnées de $\ve{v}$ :
\begin{align} \ve{v} \cdot \ve{i} &= \begin{pmatrix} 1 \\0 \\0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_x \\v_y \\v_z \end{pmatrix} \\& = v_x \end{align}
\begin{align} \ve{v} \cdot \ve{j} &= \begin{pmatrix} 0 \\1 \\0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_x \\v_y \\v_z \end{pmatrix} \\& = v_y \end{align}
\begin{align} \ve{v} \cdot \ve{k} &= \begin{pmatrix} 0 \\0 \\1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_x \\v_y \\v_z \end{pmatrix} \\& = v_z \end{align}
On peut aussi retrouver cela en passant par l’expression de $\ve{v}$ mentionnant explicitement les vecteurs de base. Par exemple :
$$\ve{v}= v_x \ve{i} + v_y \ve{j} + v_z \ve{k} $$
\begin{align} \ve{v} \cdot \ve{i} &= (v_x \ve{i} + v_y \ve{j} + v_z \ve{k}) \cdot \ve{i} \\&= v_x \ve{i} \cdot \ve{i} + v_y \ve{j} \cdot \ve{i}+ v_z \ve{k} \cdot \ve{i} \\ &= v_x\end{align}
où l’on a utilisé le fait que la base $\mathcal{B}=(\ve{i},\ve{j},\ve{k})$ est supposée orthonormée : Les vecteurs sont orthogonaux deux à deux $$\ve{i} \cdot \ve{j} = \ve{i}\cdot \ve{k} = \ve{j} \cdot \ve{k} = 0$$ et ont une norme égale à $1$, i.e., $$ \ve{i} \cdot \ve{i} = \ve{j} \cdot \ve{j} = \ve{k}\cdot \ve{k} = 1^2 = 1.$$
Concernant une éventuelle caractérisation du produit scalaire en termes de l’aire d’une figure géométrique du plan, il existe bel et bien une caractérisation du produit scalaire de deux vecteurs $\ve{a}$ et $\ve{b}$ comme l’aire d’un rectangle de côtés de longueur $\|\ve{b}\|$ et $\|\ve{a}\| \cos \theta$, où $\theta$ est l’angle formé par les vecteurs $\ve{a}$ et $\ve{b}$.
En pratique, sincèrement, je doute que ça serve à des étudiants en début de cursus, contrairement à l’interprétation en termes d’aire d’un parallélogramme du produit vectoriel de deux vecteurs, qui elle, est très utile, et que nous verrons dans la section suivante.