Exo 9 (22-SPO1U12-C1-EX9)
Soit le cube $A B C D E F G H$ :
Parmi les triplets de vecteurs $(\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}, \overrightarrow{\mathrm{HD}}),(\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}, \overrightarrow{\mathrm{HF}}),(\overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{GA}}, \overrightarrow{\mathrm{EG}})$ et $(\overrightarrow{\mathrm{AD}}, \overrightarrow{\mathrm{HF}}, \overrightarrow{\mathrm{EC}})$, trouver ceux qui sont des bases de V.
- Le triplet $(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{H D}) \quad$ forme une base de $V_3$, la configuration du cube montre bien que les trois vecteurs ne sont pas coplanaires : $\ve{HD}$ est orthogonal à $\ve{AB}$ et $\ve{BC}, tandis que ces deux derniers ne sont bien sûr pas colinéaires.
- Le triplet $(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{H F})$ ne forme pas une base de $V_3$. En effet, les trois vecteurs sont coplanaires : \begin{aligned}
\overrightarrow{H F}=\overrightarrow{D B} &=\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{A B} \\
&=\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{A B} \\
&=-\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{A B}
\end{aligned} et nous arrivons à $$\ve{HF} + \ve{BC} – \ve{AB} = 0.$$ - Le triplet $(\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{G A}, \overrightarrow{G C})$ ne forme pas une base de $V_3$ car $\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{E G}$.
- Le triplet $(\overrightarrow{A D}, \overrightarrow{H F}, \overrightarrow{E C})$ forme une base de $V_3$ : Le vecteur $\ve{EC}$ n’est pas dans le même plan que $\ve{AD}$ et $\ve{HF} = \ve{DB}$, les trois vecteurs ne sont donc pas coplanaires.