Exo 8 (22-SPO1U12-C1-EX8)
Par rapport à une base $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ du plan $V_2$, on considère les vecteurs $\vec{u}=\left(\begin{array}{c}m \\ 1\end{array}\right)$ et $\vec{v}=\left(\begin{array}{c}1 \\ m\end{array}\right)$, où $m$ est un paramètre réel.
a) Déterminer les valeurs de m pour lesquelles les deux vecteurs sont colinéaires.
b) Même question pour les vecteurs $\vec{u}=\left(\begin{array}{c}m \\ 1\end{array}\right)$ et $\vec{v}=\left(\begin{array}{c}m \\ m^2\end{array}\right)$.
Tout d’abord, un petit rappel sur la notion de déterminant.
Considérons deux vecteurs non-nuls $$\ve{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad \ve{v} = \begin{pmatrix} x^\prime \\ y^\prime \end{pmatrix}.$$
Supposons que ces deux vecteurs sont colinéaires : Il existe alors un réel $k$, non-nul, tel que $\ve{u} = k\ve{v}$.
En termes de coordonnées, cela nous donne $$\left\{\begin{array}{l}
x=k x^{\prime} \\
y=k y^{\prime}
\end{array}\right.$$
Il vient immédiatement de chacun de ces égalités que $k=\frac{x}{x^\prime}, \quad k=\frac{y}{y^{\prime}}$
et donc $$\dfrac{x}{x^{\prime}}=\dfrac{y}{y^{\prime}}$$
Notons que l’hypothèse de non-nullité de $\ve{u}$ et de $\ve{v}$ nous permet d’écrire une telle expression, qui nécessite des dénominateurs non-nuls pour exister ! On peut ainsi supposer que $x^\prime$ et $y^\prime$, par exemple, sont non-nuls.
Il vient alors $x y^{\prime}=y x^{\prime}$, c’est-à-dire
$$ x y^{\prime}-x^{\prime} y=0.$$
La quantité $ x y^{\prime}-x^{\prime} y$ est dénotée par $$\left|\begin{array}{ll}
x & x^{\prime} \\
y & y^{\prime}
\end{array}\right| $$ et appelée le déterminant des vecteurs $\ve{u}$ et $\ve{v}$ :
$$ \det(\ve{u},\ve{v}) = \left|\begin{array}{ll}
x & x^{\prime} \\
y & y^{\prime}
\end{array}\right| = x y^{\prime}-x^{\prime} y $$
a) Calculons le determinant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$
\begin{align}
\operatorname{det}(\vec{u}, \vec{v})&=\left|\begin{array}{ll}
m & 1 \\
1 & m
\end{array}\right| \\
&=m^2-1. \end{align}
On sait que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colineaires si et seulement si le déterminant $\operatorname{det}(\ve{u}, \ve{v})$ est nul. Ainsi, nous allons déterminer les valeurs de $m$ telles que $\operatorname{det}\left(\overrightarrow{u}, \ve{v}\right)=0$.
On a
$$ m^2-1=(m-1)(m+1).$$
Ainsi, le déterminant de $\ve{u}$ et $\ve{v}$ est nul si et seulement si $m=1$ ou $m=-1$.
b) On prend cette fois
$$\vec{u}=\left(\begin{array}{l}
m \\
1
\end{array}\right), \quad \vec{v}=\left(\begin{array}{l}
m \\
m^2
\end{array}\right)$$
et l’on calcule\begin{aligned}
\operatorname{det}\left(\overrightarrow{u}, \ve{w}\right)&=\left|\begin{array}{ll}
m & m \\
1 & m^2
\end{array}\right| \\
&=m^3-m \\ &=m\left(m^2-1\right) \\
&=m(m-1)(m+1)
\end{aligned}
On a ainsi $\operatorname{det}\left(\overrightarrow{u}, \ve{v}\right)=0$ si et seulement si $m=0$ ou $m=1$ ou $m=-1$.