Exo 7 (22-SPO1U12-C1-EX7)
Soit l’hexagone centré $A B C D E F$ (centré en O):
Parmi les couples de vecteurs $(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C}), (\overrightarrow{A O}, \overrightarrow{E F}), (\overrightarrow{E B}, \overrightarrow{F C}), (\overrightarrow{A B},-2 \overrightarrow{B C})$ et $(\overrightarrow{C B}, \overrightarrow{D A})$, trouver ceux qui sont des bases de $V_2$.
Ici, nous devons commencer par nous remémorer la définition d’une base du plan $V_2$. Pour cela, consultons le polycopié en page $62$ :
Une base du plan $V_2$ est un couple $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ composée de deux vecteurs non colinéaires de $V_2$.
Nous devons donc, pour chaque couple fourni en énoncé, faire usage de la figure (observation, utilisation judicieuse des représentants) afin de déterminer si les deux vecteurs du couple sont colinéaires ou non.
- En ce qui concerne le couple $(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C})$, clairement, par construction de l’hexagone, les deux vecteurs, qui sont associés à des côtés adjacents de la figure, ne sont pas colinéaires.
- Pour le couple $ (\overrightarrow{A O}, \overrightarrow{E F})$, on remarque via la figure que nous avons $\ve{AO} = \ve{FE} = -\ve{EF}$. Par conséquent, les vecteurs $\ve{AO}$ et $\ve{EF}$ sont colinéaires. En conséquence, le couple $ (\overrightarrow{A O}, \overrightarrow{E F})$ n’est pas une base de $V_2$.
- Le couple $(\overrightarrow{E B}, \overrightarrow{F C})$ forme une base de $V_2$ car les vecteurs $\ve{EB}$ et $\ve{FC}$ sont associés à diagonales de l’hexagone reliant des sommets distincts et opposés de ce dernier, et ne peuvent donc pas être colinéaires.
- Pour le couple $(\overrightarrow{A B},-2 \overrightarrow{B C})$, notons que $\ve{AB}$ et $\ve{BC}$ sont des côtés adjacents de l’hexagone $A B C D E F$ et ne peuvent donc pas être colinéaires. Ce couple forme donc une base de $V_2$.
- En ce qui concerne le couple $(\ve{CB}, \ve{DA})$, notons que nous avons $\ve{DA} = 2\ve{CB}$. Les vecteurs $\ve{DA}$ et $\ve{CB}$ sont donc colinéaires et ne peuvent donc pas former une base de $V_2$.