Exo 6 (22-SPO1U12-C1-EX6)
Soit $A B C$ un triangle non-aplati, et $m$ un nombre réel. Trouver les valeurs de $m$ pour lesquelles le vecteur $\overrightarrow{A B}+m \overrightarrow{B C}$ est colinéaire avec le vecteur $\overrightarrow{C A}$
On cherche à déterminer les valeurs de $m$ telles que $\overrightarrow{A B}+m \overrightarrow{B C}$ est colinéaire avec $\overrightarrow{C A}$ : On veut donc déterminer les $m$ qui nous permettent d’exprimer $\overrightarrow{A B}+m \overrightarrow{B C}$ sous la forme $k \vec{CA}$, où $k$ est un réel non-nul.
Gardez bien à l’esprit la définition de la notion de colinéarité : Deux vecteurs $\vec{u}, \vec{v}$ sont dits colinéaires s’il existe un réel $k$ non-nul tel que $\vec{u} = k\vec{v}$.
On a \begin{aligned} \overrightarrow{A B}+m \overrightarrow{B C} &= \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B}+m \overrightarrow{B C} \\ &= -\ve{CA} – \ve{BC} + m \ve{BC} \\&= -\ve{CA} + (m-1) \ve{BC} \end{aligned}
On identifie immédiatement via cette expression que $\overrightarrow{A B}+m \overrightarrow{B C}$ est égal $- \ve{CA}$, i.e., est colinéaire avec $\ve{CA}$, lorsque $m=1$ (car cela annule le terme impliquant $\ve{BC}$).
En observant la figure, tout laisse penser qu’il n’existe pas d’autres valeurs de $m\neq 1$ telles que $\overrightarrow{A B}+m \overrightarrow{B C}$ soit colinéaire avec $\ve{CA}$.
Nous allons établir cela rigoureusement en raisonnant par l’absurde : Supposons qu’il existe un réel $m$ différent de $1$ tel que $$\ve{AB} + m \ve{BC} = k\ve{CA}$$ et déduisons en une contradiction.
En utilisant $\ve{CA} = \ve{CB}+\ve{BA}$ dans l’égalité $$\ve{AB} + m \ve{BC} = k\ve{CA}$$ pour $m\neq 1$, on obtient:
$$\overrightarrow{A B}+m \overrightarrow{B C}= k\overrightarrow{C B}+ k\overrightarrow{B A}.$$
Cette égalité est équivalente à
$$\overrightarrow{A B}- k \overrightarrow{B A}= k \overrightarrow{CB}- m\overrightarrow{BC},$$ qui est elle-même équivalente à
$$(1-k) \overrightarrow{B A}+(m-k) \overrightarrow{B C}= \vec{0}.$$
On obtient alors l’égalité $$ \dfrac{(m-1)}{(m-k)} \ve{BC} = \ve{AB}, $$ qui signifie que les vecteurs $\ve{BC}$ et $\ve{AB}$ sont colinéaires : Les points $A,B$ et $C$ sont alors alignés, et cela implique que le triangle $ABC$ est aplati.
Or, l’énoncé stipule que le triangle $ABC$ est non aplati (i.e., que les points $A,B$ et $C$ ne sont pas alignés).
Notre hypothèse concernant l’existence d’un réel $m\neq 1$ tel que $$\ve{AB} + m \ve{BC} = k\ve{CA}$$ nous a donc conduits à une contradiction sur l’hypothèse de l’énoncé stipulant que le triangle $ABC$ est non aplati. On en déduit qu’il ne peut exister de réel $m\neq 1$ tel que $\ve{AB} + m \ve{BC}$ et $\ve{CA}$ sont colinéaires.