Exo 5 (22-SPO1U12-C1-EX5)

Solution officielle AMU – Je n’ai pas rédigé cette solution

Solution. Procédons en faisant des regroupements dont on va montrer qu’à chaque fois une paire de vecteurs de deux regroupements distincts ne sont pas colinéaires.

• $\vec{c}=-2 \vec{a}=-3 \vec{f}$ donne un premier regroupement qui est $\{\vec{a}, \vec{c}, \vec{f}\}$.
• $\vec{e}=-\frac{3}{2} \vec{b}$ donne un deuxième regroupement qui est $\{\vec{b}, \vec{e}\}$
•  Le dernier regroupement serait $\{\vec{d}\}$

Il faut maintenant montrer que $(\vec{a}, \vec{b}),(\vec{a}, \vec{d})$,et $(\vec{b}, \vec{d})$ ne sont pas des couples de vecteurs colinéaires.

• On commence par $(\vec{a}, \vec{b})$.

Supposons par l’absurde qu’il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\vec{b}=\lambda \vec{a}$. En regardant la première coordonnée, on devrait nécessairement avoir $$6=-3 \lambda$$ et donc $\lambda=-2$. Or en regardant maintenant la seconde coordonnée, on obtient $$ -\lambda=4 $$ et ainsi $\lambda=-4$ et $\lambda=-2$, ce qui est impossible, on a donc une contradiction. Ainsi $\vec{a}$ et $\vec{b}$ ne sont pas colinéaires.

• Le cas $(\vec{a}, \vec{d})$ se traite de la même façon en obtenant $\lambda=-\frac{1}{3}$ et $\lambda=-3$ qui se contredisent.
• Pareil pour $(\vec{b}, \vec{d})$ se traite de la même façon en obtenant $\lambda=\frac{1}{6}$ et $\lambda=\frac{3}{4}$ qui se contredisent.