Exo 4 (22-SPO1U12-C1-EX4)

Soit l’hexagone centré $A B C D E F$ (centré en $O$) :

Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{O F}, \overrightarrow{C D}, \overrightarrow{F D}$ et $\overrightarrow{E B}$ comme des combinaisons des vecteurs $\overrightarrow{A B}$ et $\overrightarrow{B C}$, donc de la forme $a \overrightarrow{A B}+b \overrightarrow{B C}$, avec $a, b \in \mathbb{R}$ à trouver à chaque fois.

On a $$\overrightarrow{O F}=\overrightarrow{B A}=-\overrightarrow{A B}.$$
$$\begin{aligned} \overrightarrow{C D}&=\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B D} \\ &= -\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A D} \\ &=-\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{B C} \\
&=-\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}
\overrightarrow{F D} &=\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{A D} \\
&=-\overrightarrow{A F}+2\overrightarrow{B C} \\
&= -\overrightarrow{C D}+2 \overrightarrow{B C} \end{aligned}$$

car $\ve{AF} = \ve{CD}$.

Notons que nous avons montré un peu plus haut que $\ve{CD}=-\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}$.

En utilisant cette expression, on obtient alors

\begin{aligned} \overrightarrow{F D} &=  -(-\ve{AB} + \ve{BC}) + 2\ve{BC} \\&= \ve{AB} + \ve{BC}. \end{aligned}