Exo 3 (22-SPO1U12-C1-EX3)
Soit $A B C D$ un losange.
Calculer $\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}$, la somme des diagonales, en fonction du côté $\overrightarrow{B C}$.
On a
\begin{aligned}
\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D} &=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A D} \\
&=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C} \\
&=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C} \\
&=\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{B C} \\
&=2 \overrightarrow{B C}
\end{aligned}
Pour arriver à ce résultat, nous avons fait usage
- à la première ligne, de l’égalité $\overrightarrow{B D} = \overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A D}$, obtenue via Chasles.
- à la seconde ligne, de l’égalité $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$, qui provient des égalités satisfaites par les côtés d’un losange.
- à la troisième ligne, de l’égalité $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, obtenue via Chasles.