Exo 29 (22-SPO1U12-C1-EX29)
Soit $A=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right), \mathrm{B}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 2\end{array}\right), \mathrm{C}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 1\end{array}\right)$. Trouver les coordonnées du seul point $G$ tel que
$$
\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}
$$
(ce point $G$ s’appelle le barycentre du triangle $A B C$. Même problème pour la barycentre du trapèze $A B C D$, où $D=\left(\begin{array}{c}4 \\ -3\end{array}\right)$.
Peut-on trouver une formule pour l’abscisse de $G$ en fonction des abscisses des sommets du triangle (respectivement trapèze)?
C’est un exo classique, que vous reverrez encore quelques fois (avec des variations, les points seront pondérés) durant votre cursus. La technique est toujours la même : On se rémémore que l’on peut associer à tout point $P$ un vecteur, en utilisant l’origine $O$ pour former le vecteur $\ve{OP}$ qui a les mêmes coordonnées que $P$.
Pour l’exo, le but de l’opération est d’obtenir une expression du vecteur $\ve{OG}$.
Pour cela, on part de l’égalité
$$\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{0}$$
et l’on décompose chacun des trois vecteurs en passant par le point $O$, de façon à faire apparaître $\ve{GO}$ :
\begin{aligned}
\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C} &= \overrightarrow{G O}+\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{G O}+\overrightarrow{O B} + \overrightarrow{G O}+\overrightarrow{O C} \\ &= 3 \vec{GO} + \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}\end{aligned}
On a donc
$$3 \overrightarrow{G O}+\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}$$
et l’on déduit immédiatement l’expression $$\overrightarrow{O G}=\frac{\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}}{3}$$
En utilisant les coordonnées fournies par l’énoncé, et en gardant à l’esprit que $$ O =\left(\begin{array}{l}
0 \\
0
\end{array}\right),$$ on a $$\ve{OA}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right),\; \ve{OB}=\left(\begin{array}{l}
2 \\
2
\end{array}\right),\; \ve{OC}=\left(\begin{array}{l}
3 \\
1
\end{array}\right)$$
on obtient donc
$$\overrightarrow{O G}=\frac{\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}
2 \\
2
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}
3 \\
1
\end{array}\right)}{3}$$
ou encore $$\overrightarrow{O G}=\left(\begin{array}{l}
\frac{x_A+x_B+x_B}{3} \\
\frac{y_A+y_B+y_C}{3}
\end{array}\right) $$
et cela nous donne
\begin{aligned}
&\overrightarrow{O G}=\frac{\left(\begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}
2 \\
2
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}
3 \\
1
\end{array}\right)}{3} \\
&\overrightarrow{O G}=\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{2}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right) \\
&\overrightarrow{O G}=\left(\begin{array}{l}
2 \\
1
\end{array}\right)
\end{aligned}
L’abscisse de $G$, dénotée par $x_G$, est obtenue via la formule
$$ x_G = \frac{x_A+x B+x_C}{2}$$ tandis que l’ordonnée de $G$, dénotée par $y_G$, est obtenue via la formule $$y_G = \frac{y_A+y_B+y_C}{3}$$.