Exo 28 (22-SPO1U12-C1-EX28)
Soit $\vec{a}$ et $\vec{b}$ deux vecteurs de $V_3$.
Montrer que si $\vec{a} \wedge \vec{u}=\vec{b} \wedge \vec{u}$ pour tout $\vec{u} \in E_3$, alors $\vec{a}=\vec{b}$.
On emploie exactement la même technique que dans l’exercice $24$ sauf que l’on prendra ici le produit vectoriel de $\vec{a}$ avec chacun des vecteurs de base, ainsi que le produit vectoriel de $\vec{b}$ avec chacun des vecteurs de base.
Soit $(u_1,u_2,u_3)$ une base de $V_3$.
On a $$u_1 = \left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right), \quad u_2 = \left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \quad u_3 = \left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right) $$.
Posons également $$ \vec{a} = \left(\begin{array}{c}
x_a \\
y_a \\
z_a
\end{array}\right), \quad \vec{b} = \left(\begin{array}{c}
x_b \\
y_b \\
z_b
\end{array}\right)$$
On a
\begin{aligned}
\vec{a} \wedge \vec{u_1} &=\left(\begin{array}{c}
x_a \\
y_a \\
z_a
\end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right) \\
&=\left(\begin{array}{c}
0 \\
-z_a \\
-y_a
\end{array}\right)
\end{aligned}
On a de plus
\begin{aligned}
\vec{b} \wedge \vec{u_1} &=\left(\begin{array}{c}
x_b \\
y_b \\
z_b
\end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right) \\
&=\left(\begin{array}{c}
0 \\
-z_b \\
-y_b
\end{array}\right)
\end{aligned}
Nous invoquons à présent le fait que nous avons par hypothèse $$\vec{a} \wedge \vec{u}=\vec{b} \wedge \vec{u}$$ pour tout $\vec{u} \in E_3$, donc, l’égalité
$$\vec{a} \wedge \vec{u_1}=\vec{b} \wedge \vec{u_1}$$
est vraie.
Ainsi, on a $$\left(\begin{array}{c}
0 \\
-z_a \\
-y_a
\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}
0 \\
-z_b \\
-y_b
\end{array}\right)$$ et l’on obtient immédiatement
$$z_a = z_b, \qquad y_a = y_b.$$
Il nous reste encore à établir l’égalité $x_a=x_b$ pour terminer l’exercice.
On a
\begin{aligned}
\vec{a} \wedge \vec{u_2} &=\left(\begin{array}{c}
x_a \\
y_a \\
z_a
\end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right) \\
&=\left(\begin{array}{c}
-z_a \\
0 \\
x_a
\end{array}\right)
\end{aligned}
ainsi que
\begin{aligned}
\vec{a} \wedge \vec{u_2} &=\left(\begin{array}{c}
x_b \\
y_b \\
z_b
\end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right) \\
&=\left(\begin{array}{c}
-z_b \\
0 \\
x_b
\end{array}\right)
\end{aligned}
Par hypothèse, on a $$\vec{a} \wedge \vec{u}=\vec{b} \wedge \vec{u}$$ pour tout $\vec{u} \in E_3$, donc, l’égalité
$$\vec{a} \wedge \vec{u_2}=\vec{b} \wedge \vec{u_2}$$
est vraie, i.e., on a
$$ \left(\begin{array}{c}
-z_a \\
0 \\
x_a
\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}
-z_b \\
0 \\
x_b
\end{array}\right) $$
et l’on obtient ainsi $z_a = z_b$, égalité déjà obtenue un peu plus haut, mais surtout, on obtient $x_a = x_b$.
Nous avons donc :
$$x_a = x_b, \qquad y_a = y_b, \qquad z_a = z_b.$$
Cela nous permet d’affirmer que nous avons l’égalité
$$\vec{a} = \vec{b}.$$
Ainsi, nous avons montré que si $$\vec{a} \wedge \vec{u}=\vec{b} \wedge \vec{u}$$ pour tout $\vec{u} \in E_3$, alors on a $$\vec{a}=\vec{b}.$$