Exo 27 (22-SPO1U12-C1-EX27)

Soit $(\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$ une base de $V_3$, et les quatre vecteurs $\vec{a}=\vec{\imath}-\vec{\jmath}, \; \vec{b}=\vec{\jmath}-\vec{k}, \; \vec{c}=\vec{k}-\vec{\imath}, \; \vec{d}=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}$.

Déterminer combien de bases on peut former en choisissant trois parmi ces quatre vecteurs.

Remarque : Cet exo nécessite un minimum de background sur la combinatoire élémentaire (arrangements), ne paniquez pas si vous ne captez pas ce qui se passe : Sauf erreur de ma part, vous reverrez ou apprendrez tout cela lorsque vous suivrez votre première UE de Probabilités & Statistiques (premier chapitre).

Version 1 : Tout d’abord, un rappel du cours :

Risque d’erreurs 3 en bas de page 22 du polycopié : L’ordre des vecteurs $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ dans la base est importante. Si le couple $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ est une base de $V_2$, alors le couple $(\vec{\jmath}, \vec{\imath})$ est bien une base de $V_2$, mais différente de $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$.

Nous garderons ainsi bien à l’esprit que par exemple, le triplet $(\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$  ne définit pas la même base que $(\vec{\jmath}, \vec{\imath}, \vec{k})$.

Nous notons qu’un triplet contenant deux fois le même vecteur ne pourra jamais former une base : Un tel triplet, du style $(\vec{a},\vec{b},\vec{a})$ ne peut au mieux qu’engendrer un plan. C’est la raison pour laquelle l’opération que nous effectuons est un tirage sans répétition.

Nous allons commencer par déterminer le nombre de triplets que l’on peut former à partir des éléments $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$. C’est ici un problème de tirage sans remise où l’ordre compte :

Le nombre de triplets que l’on peut obtenir à partir de $4$ éléments, dans le contexte d’un tirage sans remise où l’ordre compte, est par définition égal à

$$ A^{3}_{4} = \dfrac{4!}{(4-3)!} $$ où l’on a utilisé la formule

$$ A_{n}^{k} = \dfrac{n!}{(n-k)!} $$ pour $k\leq n$, lisez le début de l’article de wikipédia sur les arrangements,

Wikipédia : « Lorsque l’on choisit $k$ objets parmi $n$ objets et que l’ordre dans lequel les objets sont sélectionnés revêt une importance, on peut les représenter par un k-uplet d’éléments distincts et on en constitue une liste ordonnée sans répétition possible, c’est-à-dire dans laquelle l’ordre des éléments est pris en compte (si l’on permute deux éléments de la liste, on a une liste différente, et un élément ne peut être présent qu’une seule fois). Une telle liste ordonnée est un arrangement. »

$ A_{n}^{k} = \dfrac{n!}{(n-k)!} $ est donc le nombre de façons de choisir $k$ objets parmi $n$ objets lorsque l’ordre compte et sans répétition, c’est-à-dire, le nombre de $k$-tuplets qu’il est possible de former à partir de $n$ objets sans répétition, et lorsque l’ordre compte.

Dans notre cas, on veut déterminer le nombre de triplets (i.e., $3$-tuplets) qu’il est possible de former à partir de $4$ objets sans répétition, dans un contexte où l’ordre compte, c’est-à-dire que par exemple triplet $(\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$  ne définit pas la même base que $(\vec{\jmath}, \vec{\imath}, \vec{k})$. Il y a donc \begin{align} A^{3}_{4} = \dfrac{4!}{(4-3)!}\\  &=  \dfrac{4!}{1!} \\ &= \dfrac{4\times 3 \times 2\times 1}{1} \\ &= 24 \end{align} triplets que l’on peut former à partir de $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$.

Les $24$ triplets que l’on peut former sont les suivants :

$$(a, b, c), (a, b, d), (a, c, b), (a, c, d),$$

$$(a, d, b), (a, d, c), (b, a, c), (b, a, d),$$

$$(b, c, a), (b, c, d), (b, d, a), (b, d, c),$$ $$ (c, a, b), (c, a, d), (c, b, a), (c, b, d), (c, d, a), $$ $$(c, d, b), (d, a, b), (d, a, c), (d, b, a), (d, b, c), $$ $$ (d, c, a), (d, c, b)$$

Pour chaque triplet, vous devez ensuite déterminer si celui-ci forme une base (voir la section 4.3.3 du cours).

Un triplet $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ de vecteurs forme une base si et seulement si le produit mixte $[u,v,w]$ est non-nul.

Avons nous besoin de calculer 24 produits mixtes ?

Fort heureusement, non !

Gardons bien à l’esprit que le signe d’un produit mixte $[u,v,w]$ change dès que l’on permute deux vecteurs :

• $[v,u,w]$ = $-[u,v,w]$
• $[w,v,u]$ = $-[u,v,w]$
• $[u,w,v]$ = $- [u,v,w]$
• Le produit mixte est invariant par permutation circulaire de trois vecteurs : $[v,w,u] = [w,u,v] = [u,v,w]$.

Lorsque l’on teste la nullité d’un produit mixte, l’ordre des vecteurs importe donc peu : Si un produit mixte doit être nul, alors il le sera peu importe l’ordre des vecteurs au sein de celui-ci.

On aurait donc pu considérer directement les triplets formés à partir de $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ et $\vec{d}$ dans le contexte d’un tirage sans remise où l’ordre ne compte pas.

Etant donné qu’un triplet donné, par exemple $(\vec{b},\vec{c},\vec{a})$, se réarrange en deux autres triplets : $(\vec{c},\vec{b},\vec{a})$ et $(\vec{c},\vec{a},\vec{b})$, le nombre de produits mixtes à calculer est égal au nombre de triplets trouvé précédemment, divisé par $3$ !

Rigoureusement, le nombre de produits mixtes à calculer est le nombre de combinaisons que l’on peut former en piochant $3$ éléments au sein d’un stock de $4$ éléments :

$C_{4}^{3} = \dfrac{4!}{3!(4-3)!} = \dfrac{4\times 3 \times 2 \times 1}{3\times 2 \times 1} = 4$

Plus généralement, $C_{n}^{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ est donc le nombre de façons de choisir $k$ objets parmi $n$ objets lorsque l’ordre compte et sans répétition, c’est-à-dire, le nombre de $k$-tuplets qu’il est possible de former à partir de $n$ objets sans répétition, et lorsque l’ordre ne compte pas !

En termes de produit mixtes à calculer, il nous suffit donc de calculer les produits mixtes associés aux triplets $$(a,b,c), \; (a,c,d), \;  (a,b,d), \; (c,d,b).$$

Ecrivons tout d’abord les coordonnées de $\vec{a}, \vec{b}$ et $\vec{c}$ par rapport à la base $(\vec{i},\vec{j}, \vec{k})$ fournie en énoncé.

Commençons par calculer $[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]$.

\begin{aligned}
&\vec{a}=\vec{\imath}-\vec{j}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0
\end{array}\right) \\
&\vec{b}=\vec{j}-\vec{k}=\left(\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
-1
\end{array}\right) \\
&\vec{c}=\vec{k}-\overrightarrow{i}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1
\end{array}\right)
\end{aligned}

\begin{aligned}
[\vec{a},\overrightarrow{b}, \vec{c}] &=(\vec{a} \wedge \vec{b}) \cdot \vec{c} \\
&=\left(\left(\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0
\end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
-1
\end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1
\end{array}\right) \\
&=\left(\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1
\end{array}\right) \\
&=-1+1 = 0
\end{aligned}

Le produit mixte $[\vec{a},\overrightarrow{b}, \vec{c}]$ est ainsi nul : Les vecteurs $\vec{a}, \vec{b}$ et $\vec{c}$ sont donc coplanaires et ne peuvent donc pas former une base de l’espace ($V_3$).

Je vous laisse calculer les trois autres produits mixtes !