Exo 26 (22-SPO1U12-C1-EX26)

Soit les trois points $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right), \mathrm{B}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right), \mathrm{C}=\left(\begin{array}{c}3 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)$. Trouver tous les points $D$ tels que ces quatre points forment un parallélogramme. Parmi ces parallélogrammes, y a-t-il un losange ? Un carré ?

Indices : Placez trois points sur une feuille et reliez ces derniers. Vous obtiendrez un triangle qui peut-être complété en un parallélogramme de trois façons différentes. Gardez à l’esprit que les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. Utilisez la formule du milieu pour déterminer les coordonnées du point $D$ dans chacun des trois cas.

Ici, malgré le fait que nous travaillions dans l’espace, notre histoire de passe dans un plan : Le plan contenant les trois points $A$, $B$ et $C$.

Commençons par placer trois points que l’on relie pour former un triangle $A$, $B$, $C$. Notons que nous exposons ici le principe général pour résoudre ce type d’exos. $A$, $B$ et $C$ sont placés au hasard, leur position exacte n’a pas d’importance (du moment qu’ils ne sont pas alignés). Il y a ensuite 3 possibilités pour compléter ce triangle en un parallélogramme :

Remarque : La figure est ici un dessin imprécis, juste pour donner une idée de ce qui se passe.

• On place un point $D_1$ de façon à former un parallélogramme $ACBD_1$.
• On place un point $D_2$ de façon à former un parallélogramme $ACBD_2$.
• On place un point $D_3$ de façon à former un parallélogramme $ACBD_3$.

Pour déterminer les coordonnées de chacun de ces points, nous allons mobiliser les deux outils suivants :

Fact : Les diagonales d’un parallélogramme se coupent on leur milieu.

Formule du milieu : Considérons deux points

$$ P=\left(\begin{array}{l}
x_p \\
y_p \\
z_p
\end{array}\right) \quad \text{et} \quad Q=\left(\begin{array}{l}
x_q \\
y_a \\
z_Q
\end{array}\right)
$$
Le milieu du segment $PQ$ a pour coordonnées
$$ \left(\begin{array}{c}
\frac{x_P+x_Q}{2} \\
\frac{y_P+y_Q}{2} \\
\frac{z _P+z_Q}{2}
\end{array}\right)$$

Revenons à la figure, et traçons les diagonales de $ACBD_1$ (notons que $AB$ était déjà tracée, par construction du triangle initial).

Déterminons les coordonnées de $D=D_1$.

On pose $D_1=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right)$ avec $x, y$ et $z$ des réels. Les diagonales $[A B]$ of $\left[C D_1\right]$ du parallelogramme $A C B D_1$ Se coupent on leur milieu. Utilisons la formule du milieu pour mettre cela en équation :
$$\left(\begin{array}{l}\frac{x_A+x_B}{2} \\ \frac{y_A+y_B}{2} \\ \frac{z_A+z_B}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}\frac{x_C+x}{2} \\ \frac{y_C+y}{2} \\ \frac{x_C+2}{2}\end{array}\right)$$ Cette égalité se répercute composante par composante :

\begin{aligned}
&\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{x_C+x}{2} \\
&\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{y_C+y}{2} \\
&\frac{z_A+z_{B}}{2}=\frac{z_C+z}{2}
\end{aligned}
Ainsi, on a
$$
\begin{aligned}
&x=x_A+x_B-x_C \\
&y=y_A+y_B-y_C \\
&z=z_A+z_B-z_C
\end{aligned}
$$

En utilisant les coordonnées de $A$, $B$, et $C$ au sein de ces formules, on obtient :

Ainsi \begin{aligned}
&x=1+2-3=0 \\
&y=0+2-1=1 \\
&z=-1+2-2=-1
\end{aligned}

On a donc $D_1=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right)$ on vérifie que $ACBD_1$ est bien un parallélogramme en checkantsi $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{D_1 B}$ (notons que vérifier une seule des deux égalités devant être satisfaites suffit).Par calcul direct, on obtient :
$$ \overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 3
\end{array}\right) \quad \overrightarrow{D_1 B}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 3
\end{array}\right)$$

Par conséquent, $ACBD_1$ est bien un parallélogramme, avec  $$ D_1 = \left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right). $$

Procédez de façon analogue pour les points $D_2$ et $D_3$.