Exo 24 (22-SPO1U12-C1-EX24)

Soit $\vec{a}$ et $\vec{b}$ deux vecteurs de V. Montrer que si $\vec{a} \cdot \vec{u}=\vec{b} \cdot \vec{u}$ pour tout $\vec{u} \in V$, alors $\vec{a}=\vec{b}$

Si $\vec{a} \cdot \vec{u}=\vec{b} \cdot \vec{u}$ pour tout $\vec{u} \in V$, abrs en pronant $\vec{u}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)$, on a $$\left(\begin{array}{l}
x_a \\
y_a
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
x_b \\
y_b
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)
$$
et on obtient immédiatement l’égalité $x_a=x_b$

En utilisant
\begin{aligned}
u_2=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right)\end{aligned} on obtient

\begin{aligned}\left(\begin{array}{l}
x_a \\
y_a
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
x_b \\
y_b
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right)
\end{aligned}
et l’on déduit que $y_a=y_b$.

Ainsi, on a $\vec{a} = \vec{b}$. Par conséquent, nous avons établi que pour tous $\vec{a}, \vec{b} \in V$, si $$\vec{a} \cdot \vec{u}=\vec{b} \cdot \vec{u}$$ pour tout $\vec{u} \in V$, alors $$\vec{a}=\vec{b}.$$