Exo 25 (22-SPO1U12-C1-EX25)

Trouver un vecteur de $V_3$ qui soit colinéaire à $ \left(\begin{array}{c}2 \\ -2 \\ 2\end{array}\right)$, et dont la somme des coefficients soit égale à 1.

Si vous lisez bien l’énoncé, c’est un exo gratuit. Sinon, voilà une proposition de solution :

Soit $\vec{v}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -2 \\ 2\end{array}\right)$
on cherche $\vec{w}=\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)$ tel que $\vec{v} \wedge \vec{w}=  \overrightarrow{0}$ et où les réels $x,y$ et $z$ satisfont l’égalité $x+y+z=1$.

On doit donc trouver $x,y$ et $z$ tels que

$$\left(\begin{array}{c}
2 \\
-2 \\
2
\end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right)$$

et $$x+y+z=1.$$

En calculant le produit vectoriel, on obtient :

$$\left(\begin{array}{c}
-2 z-2 y \\
-(2 z-2 x )\\
2 y+2 x
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right)$$ et cela nous donne rapidement

$$
\left\{\begin{array}{l}
-2 z-2 y=0 \\
2 x-2 z=0 \\
2 y+2 x=0
\end{array}\right.
$$

puis

$$
\left\{\begin{array}{l}
z+y=0 \\
x=z \\
x=-y
\end{array}\right.
$$

Il nous suffit à présent de sélectionner $x,y$ et $z$ de façon à ce que les égalités ci-dessus soient satisfaites, sans oublier la condition $x+y+z =1$.

Prenons $$ x=1,  \quad y=-1, \quad z=1. $$