Exo 23 (22-SPO1U12-C1-EX23)

Soit les points $O=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right), A=\left(\begin{array}{l}4 \\ 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3\end{array}\right)$ et $C=\left(\begin{array}{l}6 \\ 3\end{array}\right)$ du plan. Le quadrilatère OABC est-il un parallélogramme?

Commençons par faire un schéma :

$OABC$ est un parallélogramme si et seulement si les deux égalités ci-dessous sont satisfaites (notez qu’une seule suffit pour que l’autre soit également valide) :

$$\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{A B} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{O A}=\overrightarrow{C B}.$$
On a  $$\overrightarrow{O A}=\left(\begin{array}{c}x_A-x_O \\ y_A-y_O\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}4 \\ 0\end{array}\right)$$ tandis que
$$\overrightarrow{C B}=\left(\begin{array}{c}-4 \\ 0\end{array}\right)$$

Par conséquent, $OABC$ n’est pas un parallélogramme.

On peut également vérifier que $\vec{OC} \neq \vec{AB}$ :

$$\overrightarrow{O C}=\left(\begin{array}{l}6 \\ 3\end{array}\right), \quad \overrightarrow{A B}=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 3\end{array}\right)$$