Exo 22 (22-SPO1U12-C1-EX22)
Dans le plan, soit $A B C$ un triangle non aplati, $E$ et $F$, les milieux des segments $B C$ et $A C$. Trouver les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ dans la base $(\overrightarrow{\mathrm{AE}}, \overrightarrow{\mathrm{AF}})$.
Commencez par faire un schéma :
En observant le schéma, il vient immédiatement que l’on a $\vec{AC}= 2 \vec{AF}$.
Si cela ne vous inspire rien, on peut également le montrer rigoureusement :
\begin{aligned}
\overrightarrow{A C} &=\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{E C} \\
&=\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{E F}+\overrightarrow{F C} \\
&=\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{E F}+\overrightarrow{A F} \\
\end{aligned}
où l’on a utilisé le fait que $ \overrightarrow{F C}=\overrightarrow{A F}$ car $F$ est le milieu du segment $AC$.
On a $$
\begin{aligned}
\overrightarrow{A B} &=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B} \\
&=2 \overrightarrow{A F}+\overrightarrow{C B}
\end{aligned}
$$ où nous avons utilisé l’égalité $\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A F}$ que nous venons d’établir un peu plus haut.
Ainsi, on a
\begin{aligned}
\overrightarrow{A B} &=2 \overrightarrow{A F}+\overrightarrow{C B} \\
&=2 \overrightarrow{A F}+\overrightarrow{C E}+\overrightarrow{E B} \\
&=2 \overrightarrow{A F}+2 \overrightarrow{C E} \\
&=2 \overrightarrow{A F}+2 \overrightarrow{C A}+2 \overrightarrow{A E} \\
&=2 \overrightarrow{A F}-4 \overrightarrow{A F}+2 \overrightarrow{A E} \\
&=-2 \overrightarrow{A F}+2 \overrightarrow{A E}\end{aligned}
où nous avons utilisé, pour passer de la seconde à la troisième égalité, l’expression $$\ve{CE} = \ve{EB}$$ qui résulte du fait que le point $E$ est le milieu du segment $[BC]$.