Exo 21 (22-SPO1U12-C1-EX21)

Soit $(\vec{\imath}, \overrightarrow{\vec{\jmath}})$ une base de $V_2$. Trouver $x, y \in \mathbb{R}$ tels que $3 \vec{a}=2 \vec{b}$, où $\vec{a}=(x+y+1) \vec{\imath}+(2 x+y) \vec{\jmath}$, et $\vec{b}=$ $(x+y) \vec{\imath}+(3 x+y+1) \vec{\jmath}$.

L’égalité $3 \vec{a}=2 \vec{b}$ est equivalente a
$$3\left(\begin{array}{c}x+y+1 \\ 2 x+y \\ 0\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}x+y \\ 3 x+y+1 \\ 0\end{array}\right)$$

Viennent alors immédiatement les égalités :
$$\left\{\begin{array}{l}3 x+3 y+3=2 x+2 y \\ 6 x+3 y=6 x+2 y+2\end{array}\right.$$que l’on peut simplifier en
$$\left\{\begin{array}{l}x+y+3=0 \\ y=2\end{array}\right.$$

dont on obtient immédiatement $$\left\{\begin{array}{l}x+5= 0\\ y=2\end{array}\right.$$

Ainsi, on a $x=-5$ et $y=2$. En remplaçant $x$ et $y$ par leurs valeurs dans $\vec{a}$ et $\vec{b}$, on peut constater que nous avons bien $$3 \vec{a}=2 \vec{b}.$$