Exo 20 (22-SPO1U12-C1-EX20)

Soit les points du plan $A=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 0\end{array}\right)$ et $C=\left(\begin{array}{c}-3 \\ 2\end{array}\right)$ (les coordonnées sont prises par rapport à un repère orthonormé directe). Calculer l’aire du triangle ABC.

La façon la plus directe de traiter l’exo consiste à se ramener à un problème dans l’espace en rajoutant une coordonnée $z=0$ aux points $A,B$ et $C$.

\begin{aligned}
&\left(\begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array}\right) \longmapsto\left(\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0
\end{array}\right) \\
&\left(\begin{array}{c}
-2 \\
0
\end{array}\right) \longmapsto\left(\begin{array}{c}
-2 \\
0 \\
0
\end{array}\right) \\
&\left(\begin{array}{c}
-3 \\
2
\end{array}\right) \longmapsto\left(\begin{array}{c}
-3 \\
2 \\
0
\end{array}\right)
\end{aligned}

Il nous suffit ensuite de tout simplement invoquer le résultat stipulant que la norme du produit vectoriel de deux vecteurs est égale à l’aire du parallélogramme que l’on peut définir à partir de ces deux vecteurs, et de se remémorer que l’on peut couper un parallélogramme en deux triangles via une des deux diagonales.

On a ainsi $$ \operatorname{Aire}(A B C)=\frac{\|\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}\|}{2}.$$

\begin{aligned}
\frac{1}{2}\left\|\left(\begin{array}{c}
-3 \\
1 \\
0
\end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{c}
-4 \\
3 \\
0
\end{array}\right)\right\| &=\frac{1}{2}\left\|\left(\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
-5
\end{array}\right)\right\| \\
&=\frac{1}{2} \sqrt{0^2+0^2+(-5)^2} \\
&=\frac{5}{2} .
\end{aligned}

Ainsi, $$ \operatorname{Aire}(A B C) = \frac{5}{2}. $$