Exo 2 (22-SPO1U12-C1-EX2)
Soit les points $A, B, C, D, E$ et $F$ dans le plan, tels que ABCF soit un parallélogramme, tandis que le quadrilatère CDEF n’a pas deux côtés parallèles (il est un quadrilatère quelconque).
Calculer les expressions suivantes, en les exprimant sous la forme d’un vecteur dont l’origine et l’extrémité sont des points de la figure :
a) $\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{E D}+\overrightarrow{A F}+\overrightarrow{F E}+\overrightarrow{C B}$
b) $\overrightarrow{D C}-\overrightarrow{A F}+\overrightarrow{B A}$
c) $2 \overrightarrow{C D}+\overrightarrow{F A}+2 \overrightarrow{D E}+\overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{E F}$
a) On a $$\begin{aligned}\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{E D}+\overrightarrow{A F}+\overrightarrow{F E}+\overrightarrow{C B} &= (\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A F}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{E D})+\overrightarrow{C B}\\ &=\overline{B D}+\overrightarrow{C B}\\ &= \ve{CB} + \ve{BD} \\
&=\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B D}\\
&=\ve{C D}\end{aligned}.$$
b) On a
$$ \overrightarrow{D C}-\overrightarrow{A F}+\overrightarrow{B A} = \overrightarrow{D C}+\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B A}$$ où l’on a utilisé $\ve{AF} = \ve{BC}$.
Ainsi, \begin{aligned} \overrightarrow{D C}-\overrightarrow{A F}+\overrightarrow{B A} &= \overrightarrow{D C}+\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B A} \\ &= \ve{DB} + \ve{BA} \\ &= \ve{DA} = -\ve{AD}. \end{aligned}
c) $$\begin{aligned} 2 \overrightarrow{C D}+\overrightarrow{F A}+2 \overrightarrow{D E}+\overrightarrow{A B}+2\ve{ E F }\\&= 2(\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{E F})+\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{A B} \\ &= 2\ve{C F}+\ve{F B}\\ &= \ve{CF} + \ve{CF} + \ve{FB} \\ &= \ve{CF} + \ve{FB} + \overrightarrow{B A}\end{aligned}$$ où l’on a utilisé $\overrightarrow{C F}=\overrightarrow{B A}$.
Ainsi, $$\begin{aligned} 2 \overrightarrow{C D}+\overrightarrow{F A}+2 \overrightarrow{D E}+\overrightarrow{A B}+2\ve{ E F } &= \ve{CF} + \ve{FB} + \overrightarrow{BA} \\ &= \ve{CB} + \ve{BA}\\ &= \ve{CA}. \end{aligned}$$