Exo 19 (22-SPO1U12-C1-EX19)

Soit les vecteurs $\vec{u}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -3 \\ 1\end{array}\right), \vec{v}=\left(\begin{array}{c}3 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ et $\vec{w}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 3\end{array}\right)$ (les coordonnées sont prises par rapport $\dot{a}$ une base orthonormée directe)
a) Calculer les produits mixtes $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ et $[\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}]$.
b) Est-ce que les vecteurs $\vec{u}, \vec{v}$ et $\vec{w}$ forment une base de $V_3$ ?

On a \begin{aligned} {[\ve{u}, \ve{v}, \ve{w}]  }&=(\ve{u} \wedge \ve{v}) \cdot \ve{w} \\
&=\left(\left(\begin{array}{c}
2 \\
-3 \\
1 \end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{c}
3 \\
-1 \\
2
\end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{c}
1 \\
-2 \\
3
\end{array}\right) \\&=\left(\begin{array}{c}
-5 \\
-1 \\
7
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{r}
1 \\
-2 \\
3
\end{array}\right) \\
&=-5+2+21 \\
&= 18
\end{aligned}

On a

\begin{aligned}
&{[\vec{v}, \vec{w}, \vec{w}]=(\vec{v} \wedge \vec{w}) \cdot \vec{u}} \\
&=\left(\left(\begin{array}{c}
3 \\
-1 \\
2
\end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{c}
1 \\
-2 \\
3
\end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{c}
2 \\
-3 \\
1
\end{array}\right) \\
&=\left(\begin{array}{c}
1 \\
-7 \\
-5
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}
2 \\
-3 \\
1
\end{array}\right)=2+21-5 = 18
\end{aligned}

b) Oui, leur produit mixte est non-nul, ils ne sont donc pas coplanaires et forment par conséquent une base de $V_3$.