Exo 18 (22-SPO1U12-C1-EX18)

Soit les points $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \mathrm{B}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 5 \\ 5\end{array}\right), \mathrm{D}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 5 \\ 3\end{array}\right)$ (les coordonnées sont prises par rapport à un repère orthonormé directe).
a) Trouver le point $\mathrm{C}$ tel que ABCD soit un parallélogramme.
b) Déterminer un vecteur $\vec{u}$ orthogonal au plan $A B C D$.

Nous allons vérifier que les relations devant être satisfaites par les vecteurs associés aux côtés opposés d’un parallélogramme sont satisfaites.

$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D} \qquad \text { et } \qquad \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C}$$

Vérifions si la première égalité est satisfaite (vérifier une seule des deux suffit : si une est vérifiée, l’autre est mécaniquement satisfaite) :

$$\left(\begin{array}{l}
x_B-x_A \\
y_B-y_A \\
z_B-z_A
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
x_D-x \\
y_D-y \\
z_D-z
\end{array}\right)$$

$$\overrightarrow{A B}=\left(\begin{array}{l}
2-1 \\
5-2 \\
5-1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
1 \\
3 \\
4
\end{array}\right)$$

$$ \overrightarrow{C D}=\left(\begin{array}{l}
3-x \\
5-y \\
3-z
\end{array}\right) $$

L’égalité $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D}$ est équivalente à
$$
\left(\begin{array}{l}
1 \\
3 \\
4
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
3-x \\
5-y \\
3-z
\end{array}\right)
$$

On en déduit immédiatement que les coordonnées du point $C$ recherché sont

\begin{aligned}
&x=2 \\
&y=2 \\
&z=-1
\end{aligned}

On peut même au passage vérifier que $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}$ :
$$
\begin{aligned}
&\overrightarrow{A B}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
3 \\
4
\end{array}\right) \\
&\overrightarrow{D C}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
3 \\
4
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

b) Par définition du produit vectoriel, le vecteur
$$
\begin{gathered}
\vec{u}=\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A D} \\
\vec{u}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
3 \\
4
\end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{l}
2 \\
3 \\
2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
-6 \\
6 \\
-3
\end{array}\right)
\end{gathered}
$$
est orthogonal au plan $A B C D$.