Exo 17 (22-SPO1U12-C1-EX17)

Soit les vecteurs $\vec{u}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ x\end{array}\right), \vec{v}=\left(\begin{array}{l}y \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ et $\vec{w}=\left(\begin{array}{l}1 \\ z \\ 0\end{array}\right)$, où $x, y, z$ sont trois paramètres réels (les coordonnées sont prises par rapport à une base orthonormée directe).
a) Calculer le produit mixte $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$. Donner un exemple de valeurs $x, y, z$ pour lesquelles les vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ sont coplanaires.
b) Existe-t-il des valeurs $x, y, z$ pour lesquelles au moins deux des vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ soient colinéaires?

a) Calculons le produit mixte

On a $$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]=(\vec{u} \wedge \vec{v}) \cdot \vec{w} = \left(\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
x
\end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{l}
y \\
0 \\
1
\end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{l}
1 \\
z \\
0
\end{array}\right) =\left(\begin{array}{c}
1 \\
x y \\
-y
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}
1 \\
z \\
0
\end{array}\right) = 1+xyz $$

Ainsi, $[\vec{u}, \vec{w}, \vec{w}]=0$ si et seulement si  $\quad x y z=-1$.

Les valeurs $x=1$, $y=1$ et $z=-1$ satisfont cette dernière égalité et sont donc un exemple de valeurs de $x,y$ et $z$ pour lesquelles les trois vecteurs étudiés sont coplanaires.

b) Sur une question de ce style, on calcule directement les produits vectoriels des vecteurs deux à deux afin de tester la colinéarité de ceux-ci (deux vecteurs de l’espace sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est le vecteur nul) :

On va ainsi calculer $\ve{u}  \wedge\ve{v}, \ve{u} \wedge \ve{w}$ et $\vec{v} \wedge \vec{w}$.

On a \begin{aligned} \vec{u} \wedge \vec{v} &=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
x
\end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{l}
y \\
0 \\
1
\end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{c}
1 \\
x y \\
-y
\end{array}\right) \end{aligned}

La présence de la coordonnée égale à $1$ fait que ce vecteur ne peut pas être le vecteur nul et ce peu importe les valeurs prises par les paramètres $x$ et $y$.\begin{aligned}
\vec{u} \wedge \vec{w} &=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
x
\end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{l}
1 \\
z \\
0
\end{array}\right) \\
&=\left(\begin{array}{c}
-z x \\
x \\
-1
\end{array}\right)
\end{aligned}

Ici encore, même argument : La présence de la coordonnée $-1$ rend impossible la nullité de ce vecteur et ce peu importe les valeurs prises par $z$ et $x$.

\begin{aligned}
\vec{v} \wedge \vec{w} &=\left(\begin{array}{c}
y \\
0 \\
1
\end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{l}
1 \\
z \\
0
\end{array}\right) \\
&=\left(\begin{array}{c}
-z \\
1 \\
y z
\end{array}\right)
\end{aligned}

Le même argument sur la présence de la coordonnée $1$ permet d’affirmer que ce vecteur ne peut pas être le vecteur nul.

Il n’existe donc pas de valeur de $x,y,z$ telle qu’au moins deux des vecteurs $\ve{u},\ve{v},\ve{w}$ soient colinéaires.