Exo 16 (22-SPO1U12-C1-EX16)
Calculer l’angle entre les diagonales de deux faces adjacentes d’un cube (les diagonales partent du même sommet du cube).
Faisons un schéma. Nous avons un cube, ayant par exemple des arêtes de longueur $\alpha$, sur lequel nous traçons en rouge les diagonales de deux faces adjacentes, de telle sorte que ces diagonales partent du même sommet.
La clé pour traiter l’exo consiste à mettre en place une base $(\ve{i}, \ve{j}, \ve{k})$, une origine $O$, et à placer des points $P_1, P_2$ qui nous permettront d’obtenir des vecteurs $\overrightarrow{O P}_1$ et $\overrightarrow{O P}_2$ associés aux deux diagonales. Nous pourrons ensuite appliquer la formule $$\overrightarrow{O P}_1 \cdot \overrightarrow{O P}_2=\left\|\overrightarrow{O P}_1\right\|\left\|\overrightarrow{O P}_2\right\| \cos (\theta)$$ pour obtenir la valeur de $\cos(\theta)$.
Remarque : Si vous observez bien de ce cube d’arête de longueur $k$) et mobilisez votre culture mathématique, vous verrez que les segments $[OP_1], [OP_2]$ et $[P_1P_2]$ ont la même longueur ($\sqrt{2}k$, via Pythagore) et que le triangle $OP_1 P_2$ est par conséquent équilatéral. Les angles d’un triangle équilatéral étant tous égaux à $\pi / 3$, on obtient immédiatement que l’angle recherché est $\pi/3$. Cependant, sur ce type d’énoncé, il faut justifier la réponse rigoureusement, comme nous allons le faire ci-dessous. (Gardez aussi en tête, au passage, que la somme des angles d’un triangle, peu importe son type, est toujours égale à $\pi$ radians, i.e., à $180$ degrés).
Dans la base $(\ve{i},\ve{j},\ve{k})$, les coordonnées des vecteurs $\ve{OP_1}$ et $\ve{OP_2}$ sont :
\begin{aligned}
&\overrightarrow{O P_1}=\left(\begin{array}{l}
\alpha \\
\alpha \\
0
\end{array}\right) \\
&\overrightarrow{O P_2}=\left(\begin{array}{l}
\alpha \\
0 \\
\alpha
\end{array}\right)
\end{aligned}
\begin{aligned}
\overrightarrow{O P_1} \cdot \overrightarrow{O P_2}&=\left\|\overrightarrow{O P_1}\right\|\left\|\overrightarrow{O P_2}\right\| \cos (\theta)\\
&=\sqrt{\alpha^2+\alpha^2+0^2} \sqrt{\alpha^2+0^2+\alpha^2} \cos (\theta)\\
&=\sqrt{2 \alpha^2} \sqrt{2 \alpha^2} \cos (\theta)\\
&=2 \alpha^2 \cos \theta\end{aligned}
Considérant que nous avons
\begin{aligned}
\overrightarrow{O P_1} \cdot \overrightarrow{O P_2}&=\left(\begin{array}{l}
\alpha \\
\alpha \\
0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
\alpha \\
0 \\
\alpha
\end{array}\right)\\
&=k^2
\end{aligned}
Nous pouvons alors écrire $$2\alpha^2 \cos(\theta) = \alpha^2 $$ et l’on déduit que $$\cos \theta=\frac{1}{2}.$$
En regardant la table des valeurs remarquables des fonctions trigonométriques, on réalise immédiatement que $$\theta=\frac{\pi}{3}.$$