Exo 15 (22-SPO1U12-C1-EX15)
Soit les vecteurs $\vec{u}:\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ et $\vec{v}:\left(\begin{array}{c}1 \\ \sqrt{3} \\ 0\end{array}\right)$ (les coordonnées sont prises par rapport à une base orthonormée).
a) Trouver un vecteur $\vec{w}$ qui soit orthogonal en même temps à $ \vec{u}$ et à $\vec{v}$.
b) Trouver un vecteur $\vec{z}$ de norme 1 qui fasse l’angle $\frac{\pi}{3}$ en même temps avec $\vec{u}$ et avec $\vec{v}$.
a) L’énoncé ne stipule pas que $\vec{\omega}$ doit être non-nul.
Par conséquent, prendre $\vec{w}=\overrightarrow{0}$ fait l’affaire. Si l’énoncé stipule que $w$ doit être non-nul, alors on calcule $\vec{u} \wedge \vec{v}:$ si $\vec{u} \wedge \vec{v} \neq \overrightarrow{0}$, on prend $\vec{w}=\vec{u} \wedge \vec{v}$. On put ausl poser $\vec{w}=\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)$ et determinu $x, y, z \in \mathbb{R}$ tels que :
\begin{aligned}
&\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right)=0 \\
&\operatorname{et}\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}
1 \\
\sqrt{3} \\
0
\end{array}\right)=0
\end{aligned}
En prenant en compte les égalités
$$\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)=x$$
$$
\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}
1 \\
\sqrt{3} \\
0
\end{array}\right)=x+y \sqrt{3}
$$
Nous obtenons ainsi $$x=0 \quad y=-\frac{x}{\sqrt{3}}=0.$$
On peut donc poser $z = \alpha$ pour tout réel $\alpha$ non-nul et on obtient ainsi
$$w=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
\alpha
\end{array}\right) $$
tel que $$\vec{w} \cdot \vec{w}=\vec{w} \cdot \vec{v}=0.$$
b) On cherche $\vec{w}$ tel qui $\|\vec{w}\|=1$ et faisant un angle de $\frac{\pi}{3}$ avec $\vec{u}$ et $\vec{v}$
On pose $\vec{w}=\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)$. On pose $$\vec{w}=\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)$$
On a $$\vec{w} \cdot \vec{u}=\|\vec{w}\|\|\vec{u}\| \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)$$
\begin{aligned}
\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right) &=x \\
&=\|\vec{u}\| \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} \\
\end{aligned} car $\|\ve{u}\|=1.$
On a donc $x=\dfrac{1}{2}$.
\begin{aligned}
&\vec{w} \cdot \vec{v}=\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}
1 \\
\sqrt{3} \\
0
\end{array}\right)=\|\vec{w}\|\|\vec{v}\| \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \\
&x+y \sqrt{3}=\frac{\sqrt{4}}{2} \text { car }\|\vec{v}\|=\sqrt{4} \\
&y \sqrt{3}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
\end{aligned}
$$y=\dfrac{1}{2 \sqrt{3}}$$
Pour déterminer $z$, on utilise le fait que $\ve{w}$ a par hypothèse une norme égale à $1$, i.e.,
$$x^2+y^2+z^2=1.$$
Notre connaissance des valeurs respectives de $x$ et $y$ nous permet alors d’obtenir
$$z = \pm \sqrt{1-\dfrac{1}{4} – \dfrac{1}{4\times 3}} = \pm\sqrt{\dfrac{2}{3}} = \pm\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} $$