Exo 14 (22-SPO1U12-C1-EX14)
Calculer les angles (les coordonnées sont prises par rapport à une base orthonormée) :
a) entre les vecteurs $\vec{u}:\left(\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right)$ et $\vec{v}:\left(\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right)$
b) entre les vecteurs $\vec{u}:\left(\begin{array}{c}\sqrt{3} \\ 2\end{array}\right)$ et $\vec{v}:\left(\begin{array}{c}1 \\ 3 \sqrt{3}\end{array}\right)$.
Ici, rien de bien méchant, on va simplement faire usage des formules $\ve{u} \cdot \ve{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\| \cos (\alpha)$
où $\alpha$ est l’angle formé par $\ve{u}$ et $\ve{v}$.
On a \begin{aligned}
\vec{u} \cdot \vec{v}=\left(\begin{array}{l}
2 \\
1
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}
1 \\
3
\end{array}\right)&=2+3 \\
&=5
\end{aligned}
\begin{aligned}
\cos (\alpha)=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{w}\|} &=\frac{5}{\sqrt{2} \sqrt{5} \sqrt{5}} \\
&=\frac{1}{\sqrt{2}} \\&=\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{aligned}
Ainsi, $\cos \alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$. En consultant un tableau des valeurs classiques des fonctions trigonométriques, on obtient $$\alpha=\frac{\pi}{4}.$$
b) \begin{aligned}
\|\vec{u}\| &=\sqrt{(\sqrt{3})^2+2^2}=\sqrt{7} \\
\|\vec{v}\| &=\sqrt{1^2+(3 \sqrt{3})^2} \\
&=\sqrt{1^2+9.3} \\
&=\sqrt{28} \\
&=\sqrt{4 \times 7} \\
&=2 \sqrt{7}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\vec{u} \cdot \vec{v} &=\left(\begin{array}{c}
\sqrt{3} \\
2
\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}
1 \\
3 \sqrt{3}
\end{array}\right) \\
&=\sqrt{3}+6 \sqrt{3} \\
&=\sqrt{3}(1+6) \\
&=7 \sqrt{3}
\end{aligned}
On a donc
\begin{aligned}
\cos \alpha=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{w}\|} &=\frac{7 \sqrt{3}}{\sqrt{7} \cdot 2 \sqrt{7}} \\
&=\frac{7 \sqrt{3}}{7 \cdot 2} \\
&=\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{aligned}
et une table des valeurs classiques des fonditions trigonométriques nous permet d’obtenir immédiatement $$\alpha = \dfrac{\pi}{6}.$$