Exo 13 (22-SPO1U12-C1-EX13)

Déterminer si les vecteurs suivants sont orthogonaux (les coordonnées sont prises par rapport à une base orthonormée) :
a) $\vec{u}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -5\end{array}\right)$ et $\vec{v}=\left(\begin{array}{l}7 \\ 3\end{array}\right)$
b) $\vec{u}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$ et $\vec{v}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 2\end{array}\right)$
c) $\vec{u}=\left(\begin{array}{c}k \\ k \\ 1\end{array}\right)$ et $\vec{v}=\left(\begin{array}{c}k-1 \\ 4 \\ 2\end{array}\right)$, en fonction de $k \in \mathbb{R}$.

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Pour chaque cas, on calculera $\vec{u} \cdot \vec{v}$

a) $$\left(\begin{array}{c}
2 \\
-5
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}
7 \\
3
\end{array}\right) =2 \times 7-5 \times 3 =-1 \neq 0$$

b) $$\left(\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
1\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}
1 \\
3 \\
2
\end{array}\right) =1 \times 1-1 \times 3+1 \times 2 =1-3+2 = 0.$$

c)  $$\left(\begin{array}{l}
k \\
k \\
1
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}
k-1 \\
4 \\
2
\end{array}\right) = k(k-1)+4 k+2  = k^2-k+4 k+2 = k^2+3 k+ 2$$

Rappel : Considérons l’équation polynomiale du second degré $$ax^2+bx +c=0.$$ Déterminons les solutions réelles de cette équation. On pose $\Delta=b^2-4 a c$. Si $\Delta>0$, alors l’équation $ax^2+bx +c=0$ a deux racines réelles :
\begin{aligned}
&r_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a} \\
&r_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}
\end{aligned}

Si $\Delta=0$ alors l’équation a une racine double : $$ r = \frac{-b}{2a}$$

Dans le cas de l’équation $k^2+3 k+ 2=0$, on a $\Delta=3^2-4 \cdot 1 \cdot 2=1$ et ainsi \begin{aligned}
r_1=\frac{-3+\sqrt{1}}{2} &=\frac{-3+1}{2} \\
&=\frac{-2}{2} \\
&=-1
\end{aligned}

et \begin{aligned}
r_2=\frac{-3-\sqrt{1}}{2} &=\frac{-4}{2} \\
&=-2
\end{aligned}

On a donc \begin{aligned}
\vec{u} \cdot \vec{v} &=k^2+3 k+2 \\
&=(k+1)(k+2).
\end{aligned}