Exo 12 (22-SPO1U12-C1-EX12)
Soit $\vec{u}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$ et $\vec{v}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$ deux vecteurs de $V_3$. Trouver un vecteur $\vec{w} \in V_3$ tel que $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ soit une base de $V_3$.
La méthode la plus rapide consiste à vérifier que $\ve{u}, \ve{v}$ ne sont pas colinéaires en calculant $\ve{u} \wedge \ve{v}$ et en s’assurant que ce produit vectoriel est non-nul : $\ve{u} \wedge \ve{v} \neq \ve{0}$. Lorsque c’est le cas, on peut poser directement $$\vec{w} =\vec{u} \wedge \vec{v}.$$
Le vecteur $\vec{w}$ est par définition orthogonal a $\vec{u}$ ainsi qu’à $\vec{v}$. Les vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ ne peuvent ainsi pas être coplanaires et forment donc une base de $V_3$.