Exo 11 (22-SPO1U12-C1-EX11)
Soient $\mathcal{B}=(\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$ une base de $V_3$, et soit les trois vecteurs donnés par leurs coordonnées dans la base $\mathcal{B}$: $$\vec{u}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \; \; \vec{v}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)\quad \text{et} \quad \vec{w}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right).$$ On admet (sans calculs) que $\mathcal{B}_1=(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ est une base de $V_3$.
Trouver les coordonnées du vecteur $\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}$ dans les bases $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}_1$.
Indices : En gardant à l’esprit le fait que $$\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k} = 1 \; \vec{\imath} + 1\; \vec{\jmath} + 1 \; \vec{k}$$Commencez par calculer les coordonnées de $\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}$ par rapport à la base $\mathcal{B}=(\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$. Vous aurez ainsi résolu la première moitié de l’exo.
Pour la suite, commençons par exprimer $\vec{u},\;\vec{v}$ et $\vec{w}$ en fonction des vecteurs $\vec{i}, \; \vec{j}$ et $\vec{k}$.
On trouve rapidement : \begin{aligned}
&\left\{\begin{array}{l}\vec{u}=\vec{i}+\vec{j} \\ \vec{v}=\vec{j}+\vec{k} \\ \vec{w} = \vec{i}+\vec{k} \end{array}\right.
\end{aligned} Ceci étant posé, on va maintenant déterminer des expressions de chacun des vecteurs $\vec{i}, \; \vec{j}$ et $\vec{k}$ en fonction de $\vec{u},\;\vec{v}$ et $\vec{w}$ en résolvant le petit système-ci-dessus. Commençons par isoler $\vec{i}, \; \vec{j}$ et $\vec{k}$.
\begin{aligned}
&\left\{\begin{array}{l}
\vec{i}=\vec{u}-\vec{j} \\
\vec{j}=\vec{v}-\vec{k} \\
\vec{\omega}=\vec{i}+\vec{k}
\end{array}\right.\\ \end{aligned}
Nous allons déterminer une expression de $\vec{i}$ en fonction de $\vec{u},\;\vec{v}$ et $\vec{w}$. Pour cela, on utilise l’expression de $\vec{j}$ au sein de l’expression de $\vec{i}$. Le système ci-dessus devient alors
\begin{aligned}
&\left\{\begin{array}{l}
\vec{i}=\vec{u}-\vec{v}+\vec{k} \\
j=\vec{v}-\vec{k} \\
\vec{k}=\vec{w}-\vec{i}
\end{array}\right.\\ \end{aligned}
Utilisons maintenant l’expression de $\vec{k}$ au sein de l’expression de $\vec{i}$ :
\begin{aligned}&\left\{\begin{array}{l}
\vec{i}=\vec{u}-\vec{v}+\vec{w}-\vec{i} \\
\vec{j}=\vec{v}-\vec{k} \\
\vec{k}=\vec{w}-\vec{i}
\end{array}\right.
\end{aligned}
On obtient alors
\begin{aligned}
&2 \vec{i}=\vec{u}-\vec{v}+\vec{w} \\
&\vec{i}=\frac{1}{2}(\vec{w}-\vec{v}+\vec{w})
\end{aligned}
Utilisez cette expression de $\vec{i}$ dans l’expression de $\vec{k}$ pour obtenir $\vec{k}$ en fonction de $\vec{u},\;\vec{v}$ et $\vec{w}$.
Finalement, utilisez l’expression de $\vec{k}$ ainsi obtenue dans l’expression de $\vec{j}$ pour obtenir ce dernier en fonction de $\vec{u},\;\vec{v}$ et $\vec{w}$.