Exo 10 (22-SPO1U12-C1-EX10)
Déterminer si les vecteurs $$\vec{u}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right), \;\vec{v}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)\qquad \text{et} \qquad $ \; \,\vec{c}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right) $$ forment une base de $V_3$.
Indice : Utilisez le résultat qui stipule que trois vecteurs de $V_3$ forment une base de $V_3$ si et seulement s’ils ne sont pas coplanaires.
Afin de tester la coplanarité de trois vecteurs, on privilégiera en général le critère impliquant le produit mixte de ces derniers : Un résultat de la section 4.3.3 nous indique en effet que, je cite
L’application la plus importante de la notion de produit mixte réside sans doute dans l’affirmation suivante : Trois vecteurs, $\vec{u}, \vec{v}$ et $\vec{w}$ de $V_3$ forment une base de $V_3$ si et seulement si leur produit mixte est différent de zéro.
Il y a cependant une méthode plus classique pour vérifier la coplanarité de trois vecteurs : On revient à la définition brute de coplanarité et l’on résout un système à 3 équations et trois inconnues.
Dans cet exercice, nous procéderons en utilisant l’approche classique.
En situation d’examen, ne perdez pas de temps : Si l’énoncé ne précise pas la méthode à utiliser, calculez directement le produit mixte des trois vecteurs et vérifiez si ce dernier est nul ou non.
Vérifions si $\ve{u}, \ve{v}$ et $\ve{w}$ sont coplanaires. On cherche des réels $\alpha, \beta, \gamma$ tels que $$\alpha \vec{u}+\beta \vec{v}+\gamma \vec{c}=\overrightarrow{0}$$ et l’on garde bien à l’esprit qu’au moins un de ces trois réels doit être non-nul.
L’expression $$\alpha\left(\begin{array}{r}
2 \\
-3 \\
1
\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{r}
3 \\
-1 \\
2
\end{array}\right)+\gamma\left(\begin{array}{r}
1 \\
-2 \\
3
\end{array}\right)$$ est équivalente au système à trois équations et trois inconnues $$\left\{\begin{array}{l}
2 \alpha+3 \beta+\gamma=0 \\
-3 \alpha-\beta-2 \gamma=0 \\
\alpha+2 \beta+3 \gamma=0
\end{array}\right.$$
On va virer les $\alpha$ de la 1ère ligne en prenant $(L_1) \longmapsto (L_1) – 2(L_3)$ et on obtient :
$$\left\{\begin{array}{l}
3 \beta-4 \beta+\gamma-6 \gamma=0 \\
-3 \alpha-\beta-2 \gamma=0 \\
\alpha+2 \beta+3 \gamma=0
\end{array}\right.$$
Nous obtenons ainsi
$$\left\{\begin{array}{l}
-\beta-5 \gamma=0 \\
-3 \alpha-\beta-2 \gamma=0 \\
\alpha+2 \beta+3 \gamma=0
\end{array}\right.$$ puis
$$\left\{\begin{array}{l}
\beta=-5 \gamma \\
-3 \alpha+5 \gamma-2 \gamma=0 \\
\alpha+2 \beta+3 \gamma=0
\end{array}\right.$$
On déduit rapidement que
$$\left\{\begin{array}{l}
\beta=-5 \gamma \\
3 \gamma=3 \alpha \\
\gamma-10 \gamma+3 \gamma=0
\end{array}\right.$$
et il vient alors
$$\left\{\begin{array}{l}
\beta=-5 \gamma \\
\alpha=\gamma \\
-6 \gamma=0
\end{array}\right.$$
i.e.,
$$\left\{\begin{array}{l}
\beta=-5 \gamma \\
\alpha=\gamma \\
\gamma=0
\end{array}\right.$$
Ainsi, supposer l’existence de réels, un cherche des réels $\alpha, \beta, \gamma$ tels que $$\alpha \vec{u}+\beta \vec{v}+\gamma \vec{c}=\overrightarrow{0}$$ nous conduit à
$\alpha=\gamma=\beta=0$ et cela contredit la définition de coplanarité de trois vecteurs, où au moins un des trois coefficients $\alpha, \beta, \gamma$ doit être non-nul.
On conclut ainsi que les vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ ne sont pas coplanaires.