Exo 1 (22-SPO1U12-C1-EX1)

Pour chacune des figures suivantes, faire la liste des vecteurs ayant un représentant dont l’origine et l’extrémité sont des points de la figure. Pour chaque vecteur on donnera un seul de ses représentants.

Solution AMU datant de 2020-2021

a) La liste des vecteurs distincts que l’on peut trouver dans un parallélogramme donné par 4 points est la suivante :

1. En listant les côtés :

• $\overrightarrow{u_1}=\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}$
• $\overrightarrow{u_2}=\overrightarrow{B A}=\overrightarrow{C D}=-\overrightarrow{u_1}$
• $\overrightarrow{u_3}=\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A D}$
• $\overrightarrow{u_4}=\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{D A}=-\overrightarrow{u_3}$

2. En listant les diagonales :

• $\overrightarrow{u_5}=\overrightarrow{A C}$
• $\overrightarrow{u_6}=\overrightarrow{C A}=-\overrightarrow{u_5}$
• $\overrightarrow{u_7}=\overrightarrow{B D}$
• $\overrightarrow{u_8}=\overrightarrow{D B}=-\overrightarrow{u_7}$

b) La liste des vecteurs distincts que l’on peut trouver dans un héxagone régulier est la suivante :

1. En listant les côtés :

• $\overrightarrow{v_1}=\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{F O}=\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{D E}$
• $\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{B A}=\overrightarrow{O F}=\overrightarrow{C O}=\overrightarrow{E D}=-\overrightarrow{v_1}$
• $\overrightarrow{v_3}=\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A O}=\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{F E}$
• $\overrightarrow{v_4}=\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{D O}=\overrightarrow{E F}=-\overrightarrow{v_3}$
• $\overrightarrow{v_5}=\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{B O}=\overrightarrow{O E}=\overrightarrow{A F}$
•  $\overrightarrow{v_6}=\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{E O}=\overrightarrow{F A}=-\overrightarrow{v_5}$

2. En listant les « diagonales » issues de chacun des sommets :

• $\overrightarrow{v_7}=\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{F D}$
• $\overrightarrow{v_8}=\overrightarrow{A D}$
• $\overrightarrow{v_9}=\overrightarrow{A E}=\overrightarrow{B D}$
• $\overrightarrow{v_{10}}=\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{D F}=-\overrightarrow{v_7}$
• $\overrightarrow{v_{11}}=\overrightarrow{D A}=-\overrightarrow{v_8}$
• $\overrightarrow{v_{12}}=\overrightarrow{E A}=\overrightarrow{D B}=-\overrightarrow{v_9}$
• $\overrightarrow{v_{13}}=\overrightarrow{B E}$
• $\overrightarrow{v_{14}}=\overrightarrow{E B}=-\overrightarrow{v_{13}}$
• $\overrightarrow{v_{15}}=\overrightarrow{C F}$
• $\overrightarrow{v_{16}}=\overrightarrow{F C}=-\overrightarrow{v_{15}}$
• $\overrightarrow{v_{17}}=\overrightarrow{B F}=\overrightarrow{C E}$
• $\overrightarrow{v_{18}}=\overrightarrow{F B}=\overrightarrow{E C}=-\overrightarrow{v_{17}}$

c) La liste des vecteurs distincts que l’on peut trouver dans un cube est la suivante :

1. En listant les arrêtes :

• $\overrightarrow{w_1}=\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{H G}=\overrightarrow{E F}$,
• $\overrightarrow{w_2}=-\overrightarrow{w_1}=\overrightarrow{B A}=\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{G H}=\overrightarrow{F E}$,
• $\overrightarrow{w_3}=\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{E H}=\overrightarrow{F G}=\overrightarrow{B C}$,
• $\overrightarrow{w_4}=-\overrightarrow{w_3}$,
• $\overrightarrow{w_5}=\overrightarrow{A E}=\overrightarrow{D H}=\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{B F}$,
• $\overrightarrow{w_6}=-\overrightarrow{w_5}$,

2. En listant sur les diagonales sur des différentes faces :

• $\overrightarrow{w_7}=\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{E G}$,
• $\overrightarrow{w_8}=-\overrightarrow{w_7}$,
• $\overrightarrow{w_9}=\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{F H}$,
• $\overrightarrow{w_{10}}=-\overrightarrow{w_9}$,
• $\overrightarrow{w_{11}}=\overrightarrow{A F}=\overrightarrow{D G}$,
• $\overrightarrow{w_{12}}=-\overrightarrow{w_{11}}$,
• $\overrightarrow{w_{13}}=\overrightarrow{B E}=\overrightarrow{C H}$,
• $\overrightarrow{w_{14}}=-\overrightarrow{w_{13}}$,
• $\overrightarrow{w_{15}}=\overrightarrow{A H}=\overrightarrow{B G}$,
• $\overrightarrow{w_{16}}=-\overrightarrow{w_{15}}$,
• $\overrightarrow{w_{17}}=\overrightarrow{D E}=\overrightarrow{C F}$,
• $\overrightarrow{w_{18}}=-\overrightarrow{w_{17}}$,

3. Enfin, en listant les diagonales du cube :

• $\overrightarrow{w_{19}}=\overrightarrow{A G}$,
• $\overrightarrow{w_{20}}=\overrightarrow{D F}$,
• $\overrightarrow{w_{21}}=\overrightarrow{C E}$,
• $\overrightarrow{w_{22}}=\overrightarrow{B H}$,
• $\overrightarrow{w_{23}}=-\overrightarrow{w_{19}}$,
• $\overrightarrow{w_{24}}=-\overrightarrow{w_{20}}$,
• $\overrightarrow{w_{25}}=-\overrightarrow{w_{21}}$,
• $\overrightarrow{w_{26}}=-\overrightarrow{w_{22}}$,