Bases, Coordonnées

Base du plan : Une base du plan $V_2$ est un couple $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ composé de deux vecteurs non colinéaires du plan $V_2$.

Soit $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ est une base de $V_2$. Pour tout vecteur $\vec{v}$ de $V_2$, il existe deux nombres réels $x$ et $y$ tels que
$$ \ve{v}=x \ve{\imath}+y \ve{\jmath} . $$ Les réels $x$ et $y$ sont appelés les coordonnées du vecteur $\ve{v}$ par rapport à la base $(\ve{\imath}, \ve{\jmath})$.

Le réel $x$ est appelé abscisse de $\ve{v}$.
Le réel $y$ est appelé l’ordonnée de $\ve{v}$.

On écrit : $$\vec{v}=\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)$$

Trois vecteurs $\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}$ et $\overrightarrow{v_3}$ de l’espace $V_3$ sont dits coplanaires s’il existe trois nombres réels $a, b, c$, dont au moins un est non nul, tels que $$a \overrightarrow{v_1}+b \overrightarrow{v_2}+c \overrightarrow{v_3}=\overrightarrow{0}.$$

Base de l’espace : Une base de l’espace $V_3$ est un triplet $(\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$ composé de trois vecteurs non coplanaires de $V_3$.

Soit $(\ve{i}, \ve{j}, \ve{k})$ une base de $V_3$. Pour tout vecteur $\ve{v}$ de $V_3$, il existe trois nombres réels $x, y$ et $z$ tels que $$ \ve{v} = x \ve{i} + y \ve{j} + z \ve{k}.$$

Les réels $x,y$ et $z$ sont appelés les coordonnées du vecteur $\ve{v}$ par rapport à la base $(\ve{i}, \ve{j}, \ve{k})$.