Exo 19 (22-SPO1U12-C2-EX19)
Donner le domaine de définition et de dérivabilité des applications suivantes puis calculer leurs dérivées :
- $f_1(x)=\dfrac{x^3+2 x+3}{x^2+2 x+7} \quad$
- $f_2(x)=\dfrac{1}{x} \ln \left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)$
- $f_3(x)=\ln (2 x+9) \quad$
- $f_4(x)=\arcsin (3 x+9)$
- $f_5(x)=\frac{1}{x} \arccos (2 x+1)$
- $f_6(x)=\sqrt{x^2+2 x-1} \arctan \left(\frac{x}{x-1}\right)$
- $f_7(x)=\ln \left(1+x^2\right)$
- $f_8(x)=\sqrt{e^x-1}$
Gardons à l’esprit que les fonctions élémentaires, à l’exception de la fonction racine $x \longmapsto \sqrt{x}$ sont dérivables sur leurs ensembles respectifs de définition. En ce qui concerne $\sqrt{x}$, elle est définie sur $\RR_{+}$ et dérivable sur $\RR_{+}^{\ast}$.
Gardez en tête que l’ensemble de dérivabilité d’une fonction rationnelle (i.e., d’un quotient de fonctions polynomiales) coïncide avec son ensemble de définition.
Pour traiter le premier cas, $$f_1(x)=\dfrac{x^3+2 x+3}{x^2+2 x+7},$$ on commence par déterminer son ensemble de définition. Notre premier réflexe doit consister à déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles le dénominateur $x^2+2 x+7$ s’annule.
On applique la méthode standard de résolution d’une équation du second degré, qui commence par le calcul du discriminant $\Delta$ du polynôme $x^2+2 x+7$ :
$$
\Delta=2^2-4 \cdot 1 \cdot 7=4-28=-24
$$
et ce discriminant étant strictement négatif, nous concluons que le dénominateur de $f_1(x)$ ne s’annule pas sur $\RR$.
La fonction $f_1(x)$ est donc définie et dérivable sur $\RR$ tout entier, en tant que quotient de deux polynômes, dont le dénominateur n’a point de racine réelle.
$$f_2(x)=\dfrac{1}{x} \ln \left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)$$
La fonction logarithme népérien est définie et dérivable sur $\RR_{+}^{\ast}$. La fonction $$ \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$$ est définie et dérivable sur $\RR$ tout entier et strictement positive.
La composée $$\ln( \dfrac{e^x + e^{-x}}{2})$$ de ces deux fonctions est donc définie sur $\RR$ tout entier.
Reste à prendre en compte le facteur $\dfrac{1}{x}$,défini et dérivable sur $$\RR^{\ast} = \RR \; \backslash \; \{0\}.$$. Le produit $$f_2(x)=\dfrac{1}{x} \ln \left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)$$ est donc défini et dérivable sur $\RR^{\ast}. $
$$f_3(x)=\ln (2 x+9) $$. La fonction logarithme népérien est définie et dérivable sur $\RR_{+}^{\ast}.$ La fonction $$x \longmapsto 2x+9$$ est définie et dérivable sur $\RR$ tout entier. Notons que cette fonction n’est strictement positive que lorsque $ x>-\dfrac{9}{2}$,
La composée $\ln(2 x+9)$ est donc définie et dérivable sur l’intervalle $ \left]-\frac{9}{2}, \infty\right[$