Exo 17 (22-SPO1U12-C2-EX17)

Déterminer $D_f$, le domaine maximal de définition de
$$
f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} .
$$
La fonction $f$ est-elle continue sur $D_f$ ?

Le terme sous la racine au dénominateur doit nécessairement être strictement positif afin que $f$ fasse sens. On a donc

$$ 1-x^2>0$$

La fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\mathbf{x} \longmapsto \mathbf{x}^2$ est strictement croissante sur $[0 ;+\infty[$ et strictement décroissante sur ] – $\infty ; 0]$. Par conséquent, deux nombres positifs et leurs racines carrées sont rangés dans le même ordre. Ainsi, $\sqrt{a}<\sqrt{b}$ équivaut à $a<b$.

i.e. $1>x^2$. En nous remémorant que $$\sqrt{x^2} = \lvert x \rvert,$$ on a ainsi $1>|x|$, i.e., $|x|<1$.

Cette dernière inégalité est équivalente à $$\left\{\begin{array}{c}x<1 \\ -x<1\end{array}\right.$$ i.e. $$\left\{\begin{array}{l}x<1 \\ x>-1\end{array}\right.$$

Ainsi, on a $$-1<x<1.$$

Pour $a < b$, l’intervalle ouvert, $]a, b[$ est défini par :$]a, b[=\left\{x \in \mathbb{R} \; \mid \; a < x < b\right\}$.

Nous avons ainsi $$D_f = ]-1,1[$$ et la fonction $f$ est bien sûr continue sur cet intervalle (arguments classiques : continuité d’une composée, quotient…)