QDC7 (22-SPO1U12-C2-QDC7)
Soit $m, n \in \mathbb{N}^*$ deux nombres sans diviseur commun à part 1. Pour quelles valeurs de $x$ l’expression $x^{-\frac{m}{n}}$ n’existe pas? (Attention : il y a deux réponses, en fonction de la parité de $n$ ).
Juste au-dessus de l’énoncé de la question de cours $7$ en page $36$ du polycopié, on peut lire
On définit donc la puissance $\frac{m}{n}$ de $x$ comme étant $x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^m}$, choix qui nous assure que la relation (2) est vraie. On constate donc que si $n$ est pair, alors $x^{\frac{m}{n}}$ ne peut pas se calculer si $x<0$, mais que si $n$ est impair, alors $x^{\frac{m}{n}}$ peut se calculer pour tout $x \in \mathbb{R}$.
On a $$x^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{x^{\frac{m}{n}}}.$$ Cette expression n’est donc pas définie pour $x=0$.
- Si $n$ est pair, comme indiqué dans la remarque issue du polycopié, alors $x^{\frac{m}{n}}$ ne peut pas se calculer si $x<0$, ce qui implique que $\frac{1}{x^{\frac{m}{n}}}$ ne peut se calculer si $n$ et pair et si $x<0$.
- Si $n$ est impair, la quantité $x^{\frac{m}{n}}$ peut se calculer pour tout $x \in \mathbb{R}$. Par conséquent, si $n$ est impair, l’expression $\frac{1}{x^{\frac{m}{n}}}$ peut-être calculée pour tout $x\in \RR^{\ast}$.