QDC6 (22-SPO1U12-C2-QDC6)

Existe-t-il une fonction $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ qui soit en même temps périodique et bijective?

La réponse est bien évidemment NON. Une telle fonction, restreinte à un intervalle $I\subset \RR$, peut effectivement être à la fois bijective et périodique. Cependant, l’énoncé spécifie que $f$ est ici supposée définie sur $\RR$ et à valeurs dans $\RR$.

Rappel : Une fonction à la fois injective et surjective est dite bijective.

Revenons à la définition de la périodicité. Une fonction $f$ est dite $T$-périodique, ou dite de période $T$, si $T$ est le plus petit entier tel que $$f(x+T)=f(x)$$ pour tout $x \in D_f$.

Supposons que $f$ est bijective. Alors, par définition, $f$ est injective.

Cela veut dire que pour tout $x_1,x_2 \in \RR$,

$$ f(x_1) = f(x_2) \longrightarrow x_1 = x_2.$$