QDC5 (22-SPO1U12-C2-QDC5)
Soit $a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq 0$. Considérons la fonction $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ définie par $$f(x) \longmapsto a x^2+b x+c.$$ Cette fonction est-elle injective ? Surjective ?
Je pense que la réponse attendue par Monsieur Ernst n’est ici pas ultra-technique. Pour établir que $f$ n’est pas injective, on peut s’appuyer sur la forme du graphe de $f$.
La symétrie du graphe par rapport à l’axe des ordonnées nous permet immédiatement d’affirmer qu’il existe des éléments $x_1,x_2 \in \RR$ tels que $x_1 \neq x_2$ mais pour lesquels $$ f(x_1) = f(x_2),$$ ce qui permet de justifier la non-injectivité de $f(x) \longmapsto a x^2+b x+c.$
En ce qui concerne la surjectivité de $f(x) \longmapsto a x^2+b x+c$, appliquons rigoureusement la définition.
Si $f$ est surjective, alors pour tout $y \in \RR$ il existe un élément $x \in \RR$ tel que $$f(x) = y,$$i.e.,
$$a x^2+b x+c=y,$$ ce qui est équivalent à
$$a x^2+b x+(c-y)=0$$
Le réel $y$ étant considéré comme fixé, l’existence d’au moins un $x$ solution de l’équation ci-dessus dépend du signe du discriminant du membre de gauche, et n’est donc pas garantie.
Nous ne pouvons donc pas affirmer que la fonction $$f(x) \longmapsto a x^2+b x+c $$ est surjective.