QDC4 (22-SPO1U12-C2-QDC4)

Trouvez le seul nombre réel $a$ tel que la fonction
$$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad g_a(x)=a x $$ ne soit pas bijective.

Une fonction $g : A \rightarrow B$ est dite surjective si tout élément $y$ de l’ensemble d’arrivée $B$ a un antécédent :

$$(\forall y\in B)(\exists x \in A, y=g(x))$$

Une fonction $g : A \rightarrow B$ est dite injective si

$$g(x_1) = g(x_2) \quad \Longrightarrow \quad x_1 = x_2 $$

Pour mémoire, une fonction $g$ injective et surjective est dite bijective.

Notons que la fonction $f_a : \RR \rightarrow \RR$ de l’énoncé définie par $f(x) = ax$ est toujours surjective. En effet, pour tout

$y \in \RR$ alors $$ y = f (\dfrac{y}{a}).$$

On suppose que $f$ n’est pas bijective. Comme cette dernière est toujours surjective, la non-bijectivité de $f$ ne peut être causée que par sa non injectivité.

Il existe donc des réels $x_1$ et $x_2$ tels que $x_1 \neq x_2$ et $f(x_1) = f(x_2)$, i.e., tels que

$$ ax_1 = a x_2.$$

Cette dernière égalité n’est possible que si $a=0$.