QDC12 (22-SPO1U12-C2-QDC12)

Déterminer, pour chacune des propositions suivantes, si elles sont vraies ou fausses :

• $\lim _{x \rightarrow+\infty} x \times \ln (x)=+\infty$
• $\ln (x+y)=\ln (x)+\ln (y) \quad \forall x, y>0$
• $\exists x>0$ t.q. $x>\ln (x)$

Concernant la première proposition, gardons à l’esprit que

$$ \lim_{x \rightarrow \infty} x = \infty$$

$$ \lim_{x \rightarrow \infty} \ln(x) = \infty $$

En regardant le tableau le plus à gauche de la section $4.1$, on constate que la limite d’un produit dont les deux facteurs tendent vers l’infini est égale à l’infini. La première proposition est donc vraie.

La seconde proposition est bien sûr fausse : $\ln (x+y)\neq \ln (x)+\ln (y) \quad \forall x, y>0$.

On a par contre $$\forall x,y > 0, \quad \ln(x\times y) = \ln(x)+\ln(y).$$

Pour tout $x>0$, on a $\ln(x) < x$, la troisième proposition est donc fausse.