QDC10 (22-SPO1U12-C2-QDC10)
Soit $a$ et $b$ deux nombres réels. Indiquez, pour chacune des propositions suivantes, si elles sont vraies ou fausses :
- $\forall x>0, \quad x^{a+b}=x^a+x^b$,
- $\exists x>0, \quad x^{a \times b}=x^a \times x^b$,
- $\forall x>0, \quad x^{2 a}=\left(x^a\right)^2$,
- $\forall x>0, \quad \frac{x^{a \times b}}{x^a}=x^b$.
La proposition $\forall x>0, \quad x^{a+b}=x^a+x^b$ est fausse. On a en effet
$$\forall x>0, \quad x^{a+b}=(x^a)(x^b).$$
La proposition $\exists x>0, \quad x^{a \times b}=x^a \times x^b$ est vraie : Il existe bien un $x$ satisfaisant cette propriété. Prenons par exemple $x=1$. Alors, on a $$ 1^{a \times b}=1^a \times 1^b.$$
La proposition $$x^{2 a}=\left(x^a\right)^2$$ est vraie.
La proposition $$\forall x>0, \quad \dfrac{x^{a \times b}}{x^a}=x^b$$ est fausse :
On a $$\dfrac{x^{a \times b}}{x^a}=x^{ab-a} = x^{a(b-1)}.$$