Logarithme Népérien & Exponentielle

Il est bon de savoir que le logarithme Népérien

$$
\ln :]0, \infty[ \rightarrow \mathbb{R}
$$

est une fonction bijective, et possède ainsi une réciproque.

La fonction exponentielle

$ \text{exp} : \RR \rightarrow ]0,\infty[$ est la réciproque du Logarithme Népérien, c’est-à-dire :

$$
\exp (x)=y \Longleftrightarrow x=\ln (y) .
$$

Plutôt que d’écrire $\text{exp}(x)$, on utilise en général la notation $e^x$. Notez que $e^1$ est couramment dénoté par $e$ tout court, où l’on doit bien garder en tête que $e$, constante d’Euler, satisfait $e \approx 2.71828$.

Notez que $\ln (1)=0$ et que $\exp (0)=1$. De même, on a $\ln (e)=1$ et $\exp(1)=e$.

Pour tout $ x \in \mathbb{R}$, on a donc $e^x=\ln ^{-1}(x)$.

Exemple : Résoudre l’équation $e^{3x+1}= 2$.

On a

$$ \ln \left(e^{3 x+1}\right)=\ln (2) \Rightarrow 3 x+1=\ln (2) \Rightarrow x=\frac{1}{3}[\ln (2)-1]$$

Remarque : Soient $a$ et $b$ des réels. Lorsque $a$ est positif, il est souvent pratique d’écrire une expression de la forme $e^{a x}+b_1$ comme

$$
e^{a x}+b_1=e^{a x}\left(1+\frac{b_1}{e^{a x}}\right),
$$et ce notamment pour calculer des limites. En effet, si $a$ est positif, on a

$$
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{b_1}{e^{a x}}=0.
$$ Cela est parfois fort pratique pour les calculs de limites en $\infty$ !