Exo 11 (22-SPO1U12-C2-EX11)
Dans chacun des cas suivants, vérifier que $f$ est monotone sur $I$, et déterminer $f(I)$. Déterminer ensuite $f^{-1}$ :
- $f(x)=e^{e^{x+1}}$ et $I=\mathbb{R}$.
- $f(x)=\sqrt[3]{x+1}+1$ et $I=\mathbb{R}$.
- $f(x)=x^2-4 x+3$ et $I=\left]-\infty, 2\right]$.
- $f(x)=\frac{2 x-1}{x+2}, I=\left]-2,+\infty\right[$.
Nous traiterons ici le premier cas :
$$f(x)=e^{e^{x+1}}.$$
La fonction proposée est définie et dérivable sur $\RR$ tout entier, pas de problème de côté là.
Notez que l’on invoque ici un fait général sur les fonctions du type $ X \longmapsto e^X$,
Calculons sa dérivée.
La fonction $f$ est de la forme $$ (u \circ v)(x) $$ avec
$$
u(x)=e^x \qquad \text{et} \qquad v(x) = e^{x+1}.
$$
Nous savons que la dérivée d’une telle fonction s’obtient via la formule de dérivation d’une fonction composée :
$$
(u \circ v)^{\prime}(x)=u^{\prime}(v(x)) v^{\prime}(x)
$$
Nous avons
$$
u^{\prime}(x)=e^x \quad \text{et} \quad v^{\prime}(x)=e^{x+1}
$$
Par conséquent,
$$
f^{\prime}(x)=e^{e^{x+1}} e^{x+1}=e^{e^{x+1}+x+1}
$$
où nous avons utilisé le fait que la fonction exponentielle satisfait la relation fondamentale
$$\forall a\in\RR,\; \forall b\in\RR, \quad e^a e^b=e^{a+b}.$$
Concernant le signe de $f^\prime (x)$, la stricte positivité de l’exponentielle sur $\RR$ tout entier nous garantit que $$ \forall x \in \RR, \; f^{\prime}(x) > 0.$$
La fonction $f : x \longmapsto e^{e^{x+1}}$ est donc monotone : Elle est strictement croissante.
Un résultat important stipule qu’une fonction monotone sur un intervalle $I \subseteq \RR$ est automatiquement injective sur cet intervalle.
En vertu de la remarque ci-dessus, la monotonie de $f$ nous permet de déduire immédiatement que $f$ est injective.
Déterminons $f(I)$, l’image de $I=\RR$ par $f$.
Commençons par étudier les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
Pour cela, je vous demande de vous remémorer le résultat disponible en cliquant ici sur la limite d’une fonction composée.
Une chose est claire, on a bien évidemment
$$\lim_{x\longmapsto \infty} e^{x+1} = \infty$$
ainsi que que $$\lim_{x\longmapsto \infty} e^{x} = \infty.$$
Le résultat concernant le calcul de la limite d’une fonction composée en un point nous permet ainsi d’affirmer que
$$\lim_{x\longmapsto \infty} \; e^{e^{x+1}} = \infty.$$
Concernant $-\infty$, notez que
$$\lim_{x\longmapsto – \infty} e^{x+1} = 0$$
et que $$\lim_{x\longmapsto 0} e^{x} = 1$$.
En invoquant à nouveau le résultat portant sur calcul de la limite d’une fonction composée en un point, nous obtenons
$$ \lim_{x\longmapsto -\infty} e^{e^{x+1}} = 1.$$
Par conséquent, nous avons
$$
\begin{aligned}
f(I) &=\{y \in \mathbb{R} \mid y>1\} \\
&=\left] 1,+\infty\right[
\end{aligned}
$$
Gardons à l’esprit que la fonction
$$f : I \longrightarrow f(I)$$
est mécaniquement surjective.
En effet, pour tout élément $y\in f(I)$,
La définition générale de $f(I)$ est $$f(I) = \{f(x) \mid x\in I\}$$
il existe $x\in \RR$ tel que $y = f(x)$, garantissant ainsi la surjectivité de $f$ vue comme une fonction de $I$ dans $f(I)$.
La fonction $$f : I \longrightarrow f(I)$$ étant ainsi à la fois injective et surjective, on déduit qu’elle est bijective.
Une fonction est bijective si et seulement si elle est à la fois injective et surjective. Notons que le caractère bijectif d’une fonction nous permet de définir sa fonction réciproque !
Nous pouvons ainsi calculer la réciproque $f^{-1}$ de la fonction $f$. Pour cela, on pose
$$
y=e^{e^{x+1}}
$$ et l’on va exprimer $x$ en fonction de $y$.
En appliquant la fonction logarithme népérien sur les deux membres de cette égalité, on obtient
$$
\ln (y)=e^{x+1}.
$$
Une seconde application du logarithme népérien sur les deux membres de l’égalité ainsi obtenue nous permet d’affirmer que
$$
\ln (\ln (y))=x+1
$$
et ainsi
$$
x=\ln (\ln (y))-1.
$$
Nous pouvons ainsi définir la réciproque $f^{-1}$ de la fonction $f$ comme
$$f^{-1}: \left] 1,+\infty\right[\longrightarrow \mathbb{R} $$
$$f^{-1}: y \longmapsto \ln (\ln (y))-1 $$