Exo 8 (22-SPO1U12-C2-EX8)
Déterminer le domaine maximal de définition, puis étudier la parité des fonctions suivantes :
- $f_1(x)=\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$
- $f_2(x)=e^{-x}+e^x$
- $f_3(x)=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$
- $f_4(x)=\exp(\dfrac{x-1}{x})$
- $f_5(x)=|x+1|+|x-1|$.
La fonction $f_1(x)$ est définie sur l’intervalle $\left] -1,1 \right[$. On a
\begin{aligned}
f_1(-x) &=\ln\left(\frac{1+(-x)}{1-(-x)}\right) \\
&=\ln \left(\frac{1-x}{1+x}\right)
\end{aligned}
Notons que $$
\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{-1}
$$
Soit $$h(x)=\dfrac{1-x}{1+x}.$$
Alors
$$
\begin{aligned}
\ln \left(h(x)^{-1}\right) &=\ln (h(x))^{-1} \\
&=-\ln (h(x)) \\
&=-f_1(x)
\end{aligned}
$$ où nous avons fait usage des propriétés élémentaires de la fonction logarithme népérien :
Pour tout $a>0$, on a $$\ln(\dfrac{1}{a}) = \ln(1 \times a^-1) = \ln(1) -\ln(a) = -\ln(a)$$
La fonction $f_1(x)$ est donc impaire :
$$ f_1(-x) = -f_1(x).$$
La fonction $f_2(x)$ est définie sur $\RR$ tout entier.
On a
$$
\begin{aligned}
f_2(-x) &=e^{-(-x)}+e^{-x} \\
&=e^x+e^{-x} \\
&=e^{-x}+e^x \\
&=f_2(x)
\end{aligned}
$$
La fonction $f_2(x)$ est donc paire.