Exo 6 (22-SPO1U12-C2-EX6)
Calculer
- $ \sin \left(\arcsin \left(\frac{1}{5}\right)\right),$
- $\arccos \left(\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)\right),$
- $\arccos (\cos (4 \pi))$,
- $\arcsin \left(\sin \left(\frac{14 \pi}{3}\right)\right)$
- $\cos \left(\arcsin \left(\frac{1}{5}\right)\right)$
La fonction arc sinus, dénotée par $\arcsin$, est la réciproque de la restriction à $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ de la fonction sinus.
- Notons que la fonction $\arcsin$ est définie sur $[-1,1]$, à valeurs dans $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ et impaire.
- On a $\sin (\arcsin x)=x$ pour tout $x \in[-1,1]$.
- On a $\cos (\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$ pour tout $x \in[-1,1]$.
- On a $\tan (\arcsin x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ pour tout $\left.x \in\right]-1,1[$
- Notez bien que $$\arcsin (\sin x)=x$$ si et seulement si $x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
Notons que l’on a $\dfrac{1}{5} \in [-1,1]$, on peut ainsi écrire $\sin \left(\arcsin \left(\frac{1}{5}\right)\right)=\frac{1}{5}.$
La fonction arc cosinus, dénotée par $\arccos$, est la réciproque de la restriction à $[0, \pi]$ de la fonction cosinus. On a $$\arccos :[-1,1] \rightarrow[0, \pi].$$
$$\forall x \in[0, \pi] \quad \arccos (\cos x)=x.$$
Notons que $\dfrac{\pi}{3} \in [0, \pi]$. On a ainsi $$\arccos \left(\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = \dfrac{\pi}{3}.$$
Notons que $$4 \pi = 0 + 2k \pi$$ avec $k=2$. En termes de modulo, on a
$$ 4\pi \equiv 0 \; (\text{mod} \, 2\pi).$$
La $2\pi$-périodicité de la fonction cosinus nous permet donc d’affirmer que
$\cos(4\pi) = \cos(0)$. Ainsi, $$\arccos (\cos (4 \pi)) = \arccos(\cos(0)) = 0 $$
car $0 \in [0,\pi]$.