Exo 4 (22-SPO1U12-C2-EX4)

• Pour tout $x$ dans $\mathbb{R}$, donner trois formules pour $\cos (2 x)$ et une formule pour $\sin (2 x)$, en fonction de $\cos (x)$ et $\sin (x)$.
• Montrer, pour certaines valeurs de $x$ qui seront précisées, que $$1+\tan ^2(x)=\frac{1}{\cos ^2(x)}.$$
• Donner une expression pour $\tan (x+y)$ et une pour $\tan (x-y)$, en fonction de $\tan (x)$ et $\tan (y)$, en précisant les valeurs de $x$ et $y$ qui conviennent. Pour tout $x$ qui convient, donner une formule pour $\tan (2 x)$ en fonction de $\tan (x)$.

En utilisant la formule

$$
\cos (a+b)=\cos (a) \cos (b)-\sin (a) \sin (b)
$$ avec $a=b=x$ il vient immédiatement

$$
\cos (x+x)=\cos (x) \cos (x)-\sin (x) \sin (x)
$$ et ainsi

$$
\cos (2 x)=\cos ^2(x)-\sin ^2(x).
$$

En gardant à l’esprit la relation fondamentale

$$ \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$$ qui nous donne $$ \sin^{2}(x) = 1 – \cos^{2}(x)$$ on a

\begin{align}\cos^{2} (x)-\sin^{2} (x) &= \cos^{2}(x)- (1-\cos^{2}(x)) \\
& =2 \cos^{2}(x)-1 \end{align}

et ainsi

$$
\cos (2 x)=2 \cos ^2(x)-1.
$$

La relation fondamentale $$ \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$$ nous permet également d’écrire

$$
\cos ^2(x)=1-\sin ^2(x).
$$

nous obtenons finalement

$$
\begin{aligned}
\cos (2 x) &=2\left(1-\sin ^2(x)\right)-1 \\
&=2-2 \sin ^2(x)-1 \\
&=1-2 \sin ^2(x)
\end{aligned}
$$

Gardons à l’esprit le fait que la fonction tangente est définie pour tout réel $x$ tel que $$x \neq \dfrac{\pi}{2}+k \pi$$ avec $k \in \mathbb{Z}$, par :
$$
\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}
$$

En élévant au carré les deux membres de cette égalité, nous avons

$$
\tan ^2(x)=d\frac{\sin ^2(x)}{\cos ^2(x)}.
$$

La relation fondamentale $$ \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$$ nous donne

$$
\sin ^2(x)=1-\cos ^2(x).
$$

Il vient alors immédiatement

$$
\tan ^2(x)=\frac{1-\cos ^2(x)}{\cos ^2(x)}.
$$

Ainsi,

$$
\tan ^2(x)=\frac{1}{\cos ^2(x)}-\frac{\cos ^2(x)}{\cos ^2(x)}
$$ i.e.,

$$
\tan ^2(x)=\frac{1}{\cos ^2(x)}-1
$$

Nous obtenons ainsi l’égalité

$$
1+\tan ^2(x)=\frac{1}{\cos ^2(x)}
$$ désirée. Cette égalité ne fait sens que lorsque $\cos(x) \neq 0$, i.e., lorsque

$$
x \neq \frac{\pi}{2}+\pi n, \quad k \in \ZZ.
$$

En ce qui concerne l’expression pour $\tan (x+y)$, nous pouvons directement utiliser la solution fournie après le Théorème 12, page 51 du polycopié officiel AMU.

On peut facilement calculer la tangente d’une somme de deux nombres :
$$
\tan (x+y)=\frac{\sin (x+y)}{\cos (x+y)}=\frac{\sin (x) \cos (y)+\cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)-\sin (x) \sin (y)} ;
$$
en simplifiant la fraction avec l’expression $\cos (x) \cos (y)$ on obtient que
$$
\frac{\sin (x) \cos (y)+\cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)-\sin (x) \sin (y)}=\frac{\tan (x)+\tan (y)}{1-\tan (x) \tan (y)},
$$
donc
$$
\tan (x+y)=\frac{\tan (x)+\tan (y)}{1-\tan (x) \tan (y)} .
$$

Obtenir une expression pour $\tan (x-y)$ n’est alors pas bien compliqué :

Notons que la fonction tangente est impaire. En effet,

\begin{aligned}
\tan (-x) &=\frac{\sin (-x)}{\cos (-x)} \\
&=\frac{-\sin (x)}{\cos (x)} \\
&=-\tan (x)
\end{aligned}

Il est alors opportun d’écrire $$\tan (x-y) =\tan (x+(-y)). $$

Nous pouvons alors utiliser l’expression précedemment obtenue pour $\tan(x+y)$ et écrire

\begin{aligned}
\tan (x-y) &=\tan (x+(-y)) \\
&=\frac{\tan (x)+\tan (-y)}{1-\tan (x) \tan (-y)} \\
&=\frac{\tan (x)-\tan (y)}{1+\tan (x) \tan (y)}.
\end{aligned}