Exo 1 (22-SPO1U12-C2-EX1)

Résoudre les équations et inéquations suivantes:

• $|x+2|=\frac{4}{3}$
• $\left|\frac{3}{2}-x\right|=3$
• $|x-2|=2-x$
• $\sqrt{7 x-1}=\sqrt{x+7}$
• $\sqrt{x+21} \leqslant \sqrt{2 x+3}$
• $\sqrt{2 x+1}=x-1$
• $\dfrac{2}{x^2-1}-\dfrac{2}{x^2+1}=\frac{4}{x^2-1}$
• $\dfrac{2 x+1}{x+2} \geq 0$

Résolution de $|x+2|=\frac{4}{3}$ :

• Si $x+2 > 0$ alors $|x+2|=x+2$ et l’équation devient $$ x+2=\frac{4}{3}.$$ Cela nous donne alors $$x=\frac{4}{3} -2= -\dfrac{2}{3}.$$
• Si $x+2 > 0$ alors $|x+2|=-(x+2)=-x-2$ et l’équation devient $$ -x-2=\frac{4}{3}.$$ Il vient alors immédiatement $$x=-2 -\frac{4}{3} = -\dfrac{10}{3}.$$

Résolution de $\left|\dfrac{3}{2}-x\right|=3$
si $$\dfrac{3}{2}-x>0$$ alors
$$\left|\dfrac{3}{2}-x\right|=\dfrac{3}{2}-x.$$
et l’équation devient alors
$$\dfrac{3}{2}-x=3$$
$$x=\dfrac{3}{2}-\dfrac{6}{2}=-\dfrac{3}{2}$$

si $\dfrac{3}{2}-x<0$ alors
$$
\begin{aligned}
&\left|\dfrac{3}{2}-x\right|=-\left(\dfrac{3}{2}-x\right)=x-\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned}

L’équation étudiée devient alors $$x-\dfrac{3}{2}=3$$ et on a ainsi

\begin{aligned}&x=3+\dfrac{3}{2}=\dfrac{6+3}{2}=\dfrac{9}{2}
\end{aligned}

$$
|x-2|=2-x
$$
si $x-2>0$ alors $|x-2|=x-2$

on a ainsi
$$
x-2=2-x
$$

et cela nous donne

$$2 x=4$$ i.e., $$x=2.$$

si $x-2<0$ alors $|x-2|=-(x-2)$ $=2-x$ et on a ainsi

$$2-x=2-x$$

i.e., $$ 0 = 0.$$

Cela signifie simplement que l’équation est vraie, et ce peu importe la valeur de $x \in \RR$.

$$\sqrt{7 x-1}=\sqrt{x+7}$$

On élève au carré les deux membres :

$$
7 x-1=x+7
$$ Cela nous donne $$ 6 x=8 $$i.e.,

$$ x=\frac{8}{6}=\frac{4.2}{3.2}=\frac{4}{3}$$

$$
\sqrt{x+21} \leq \sqrt{2 x+3}
$$

On élève les deux membres de cette inégalité au carré

$$ x+21 \leq 2 x+3$$ et l’on obtient

$$
x \geq 18
$$

L’ensemble des solutions de cette inégalité est donc l’intervalle

$$
[18, \infty[.
$$