QDC2 (22-SPO1U12-C2-QDC2)

Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la fonction donnée par la formule $f(x)=x$. Laquelle des propositions suivantes est vraie :

$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}^{} f(x)=0,$$

$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 1}^{} f(x)=-1,$$

$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}^{} f(x)=1.$$

La fonction définie par $f(x)=x$ est la fonction identité. Elle n’applique aucune transformation particulière à $x$, et retourne simplement ce dernier inchangé.

On a par exemple $$f(2500) = 2500, \quad f(2)=2, \quad f(-1000) = -1000.$$

Qu’arrive t-il lorsque $x$ s’approche de $0$ ?

Notons que l’on a $$f(1) = 1, \quad f(0.5)=0.5, \quad f(0.1) = 0.1$$ ou encore $$f(0.01) = 0.01, f(0.001) = 0.001, \quad f(-0.001)=-0.001$$ Nous observons ainsi que lorsque $x$ tend vers zéro, $f(x)$ tend vers $0$.

En vertu de la définition $6$ et de la remarque

En d’autres mots, la fonction $f(x)$ converge quand $x$ va vers $x_0$ si le phénomène suivant a lieu : il suffit de choisir $x$ très proche de $x_0$ (dans le sens que $\left|x-x_0\right| \leq \gamma$ ) pour obliger $f(x)$ d’être très proche de $f_0$ (voulant dire que $\left|f(x)-f_0\right| \leq \varepsilon$ ).

Remarque sous la définition 6 (limite) en page 10 du polycopié AMU

sous cette dernière dans le polycopié, il vient immédiatement que la seule proposition vraie est $$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}^{} f(x)=0.$$