QDC 1 (22-SPO1U12-C2-QDC1)

Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la fonction constante $f(x)=1$.

Déterminez la proposition vraie parmi les trois suivantes :

$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} f(x)=0,$$

$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow -1} f(x)=-1,$$

$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} f(x)=1.$$

Peu importe la valeur prise par la variable $x$, la fonction définie par $$f : x \longmapsto 1$$ ne retourne que la valeur $1$. Concrètement, on a par exemple

$$f(-5)=f(1000)=f(0.01)=f(2500) = 1.$$

La constance de $f$ et sa définition$f(x)=1$ signifie que pour tout $x \in \RR$, on a $$f(x) =1.$$

Peu importe la valeur $a$ vers laquelle on fait tendre $x$, on a $$ \displaystyle\lim_{x \rightarrow a} f(x) = 1$$ pour tout $a$.

La seule proposition vraie est donc $$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} f(x)=1.$$