Exo 15 (22-SPO1U12-C2-EX15)
On considère la fonction $f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}$ définie par
$$ f(x)=\left\{\begin{array}{rrl} \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{x} & \text { si } & x \neq 0 \\ 0 & \text { si } & x=0 \end{array}\right. $$
Montrer que $f$ est continue sur $[-1,1]$.
Commençons par étudier la continuité de $f(x)$ pour $x\neq 0$.
Soit $f$ une fonction définie sur une partie $A$ de $\mathbf{R}$ et soit $a$ un point de $A$. Afin de montrer que $f$ est continue en $a$, on peut s’appuyer sur les faits suivants :
- si $f_1$ et $f_2$ sont continues en $a$, alors $f_1+f_2$ est continue en $a$;
- si $f_1$ et $f_2$ sont continues en $a$, alors $f_1 f_2$ est continue en $a$;
- si $f_1$ et $f_2$ sont continues en a et $f_2(a) \neq 0$, alors $\frac{f_1}{f_2}$ est continue en $a$;
- si $f_1$ est continue en a et $f_2$ est continue en $f_1(a)$ alors $\left(f_2 \circ f_1\right)$ est continue en $a$.
Considérons les fonctions suivantes :
- $f_1 : \RR \rightarrow \RR $ définie par $x \mapsto \sqrt{1+x^2} $.
- $ f_2 : [ -1,1] \rightarrow \RR $ définie par $ x \mapsto \sqrt{1-x^2} $.
- $f_3 : \; \RR \backslash \{0\} \rightarrow \RR $ définie par $ x \mapsto \dfrac{1}{x}$.
En invoquant les propriétés des fonctions élémentaires à partir desquelles $f_1$, $f_2$ et $f_3$ sont obtenues (cours !), il est clair que ces fonctions sont continues sur $$[-1,0\left[ \; \cup \; \right]0, 1],$$ et qu’il en est de même pour $$f = \dfrac{f_1 + f_2}{f_3}. $$ Reste la question de la continuité en $0$.
On pose $$
\begin{aligned}
h(x) &=f_1(x)-f_2(x) \\
&=\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}
\end{aligned}
$$
Notons que $$
\begin{aligned}
h(0) &=\sqrt{1+0^2}-\sqrt{1-0^2} \\
&=\sqrt{1}-\sqrt{1} \\
&=1-1 \\
&=0
\end{aligned}
$$ et que $$f(x)=\frac{h(x)}{x}=\frac{h(x)-h(0)}{x-0}$$
Ainsi, $$\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{h(x)}{x}$$ i.e.,
$$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{h(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{h(x)-h(0)}{x-0}.$$
Par définition, on a $$ h^{\prime}(0) = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{h(x)-h(0)}{x-0}.$$.
Notons que $h(x)$ est définie sur $[-1,1]$ et que $$\begin{aligned} h^{\prime}(x) &=\frac{2 x}{2 \sqrt{1+x^2}}+\frac{2 x}{2 \sqrt{1-x^2}} \\ &=x\left[\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right] \end{aligned}$$
On a $$h^{\prime}(0) = 0$$ ainsi, $$\lim _{x \rightarrow 0} f(x) = h^{\prime}(0) = 0$$ et la fonction $f$ telle que définie par l’énoncé est bien continue en $0$. Comme demandé par l’énoncé, nous avons montré que la fonction $f$ est continue sur l’intervalle $[-1,1]$.