Exo 14 (22-SPO1U12-C2-EX14)
Calculer les limites des fonctions suivantes lorsque $x$ tend vers 0 en appliquant la règle de l’Hospital :
- $f: x \mapsto \frac{x}{(1+x)^2-1}$;
- $g: x \mapsto \frac{\ln (x+1)}{\sqrt{x}}$
- $h: x \mapsto \frac{1-\cos (x)}{\tan (x)}$;
- $k: x \mapsto \frac{x-\sin (x)}{x^3}$
Remémorons nous tout d’abord la règle de l’Hôpital : Soient $f_1$ et $f_2$ deux fonctions dérivables en un point $a$ et satisfaisant $$f_1(a)=f_2(a)=0.$$ On suppose de plus que $$f_2^{\prime}(a) \neq 0.$$ Alors, $$ \lim _{x \rightarrow a} \frac{f_1(x)}{f_2(x)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f_1^{\prime}(x)}{f_2^{\prime}(x)}.$$
Notons que nous avons $a=0$ sur cet exercice.
Nous allons traiter le premier cas ainsi que le quatrième cas.
Considérons donc d’abord
$$
f(x)=\frac{x}{(1+x)^2-1}
$$ et posons $\left.f_1 ( x\right)=x$ ainsi que $f_2(x)=(1+x)^2-1$. On a $$f(x)=\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}.$$
On a $f_1(0)=0$, $f_2(0)=1-1=0$.
On a $$\begin{aligned}\left.f_2^{\prime} ( x\right) &=2(1+x) \\ &=2 x+2 \end{aligned}$$ et $f_2^{\prime}(0)=2 \neq 0.$
Formellement, on a
$$
\lim_{x \rightarrow 0} f(x)=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f_1(x)}{f_2(x)}.
$$
Par l’Hôpital, il vient $$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f_1(x)}{f_2(x)}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f_2^{\prime}(x)}{f_2^{\prime}(x)}
$$ et ainsi $$
\begin{aligned}
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f_1^{\prime}(x)}{f_2^{\prime}(x)} &=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2 x+2}
=\frac{1}{2} \end{aligned}.
$$
Traitons à présent le quatrième cas. C’est un cas important, qui nécessite plusieurs applications successives de la règle de l’Hospital.
Calculer
$$\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{x-\sin (x)}{x^3}.$$
On pose $$f_1(x)=x-\sin (x)$$ et $$f_2(x)=x^3.$$
On a $$f_1(0)=0-\sin (0)=0-0=0$$ et $$f_2(0)=0.$$
$$\left\{\begin{array}{l} f_{1}^{\prime}(x)=1-\cos (x) \\ f_2^{\prime}(x)=3 x^2\end{array}\right.$$
$$f_2^{\prime}(0) = 0$$
On ne peut donc pas conclure dès maintenant avec une seule application de la règle de l’Hopital, l’égalité ci-dessous ne tient pas :
$$ \lim _{x \rightarrow a} \frac{f_1(x)}{f_2(x)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f_1^{\prime}(x)}{f_2^{\prime}(x)}.$$
Essayons d’appliquer la règle de l’Hopital à $$\frac{f_1^{\prime}(x)}{f_2^{\prime}(x)}.$$
$$\left\{\begin{array}{l}f_1^{\prime \prime}(x)=\sin (x) \\ f_2^{\prime \prime}(x)=6 x\end{array}\right.$$
Notons que $$f_2^{\prime \prime}(0)=0.$$ Ici encore, nous ne pourrons pas conclure, l’égalité $$ \lim _{x \rightarrow a} \frac{f^\prime_1(x)}{f^\prime_2(x)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f_1^{\prime \prime}(x)}{f_2^{\prime \prime}(x)}$$ n’est pas exploitable.
Appliquons la règle de l’Hopital une troisième fois, cette fois à $$ \frac{f_1^{\prime \prime}(x)}{f_2^{\prime \prime}(x)}.$$
On dénote ici par $f_1^{(3)}(x)$ et $f_2^{(3)}(x)$ les dérivées troisièmes respectives de $f_1$ et $f_2$.
$$\left\{\begin{array}{l} f_1^{(3)}(x)=\cos (x) \\f_2^{(3)}(x)=6\end{array}\right.$$ Cette fois, on a
$$f_2^{(3)}(0)=6.$$
$$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f_1(x)}{f_2(x)} &=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f_1^{(3)}(x)}{f_2^{(3)}(x)} \\ &=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (x)}{6} \\ &=\frac{1}{6} \end{aligned}$$