Exo 13 (22-SPO1U12-C2-EX13)
Calculer $$\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x^2+x+1}-x$$
C’est un grand classique ! Une tentative de calcul direct nous mène à une forme indéterminée du type $$ \infty \, – \infty$$
On va appliquer la technique standard qui consiste à écrire
$$ a^2 \, – \, b^2 = \dfrac{(a-b)(a+b)}{a+b}$$ de façon à nous débarasser de la racine carrée de l’expression donnée en énoncé :
$$\begin{aligned}
\sqrt{x^2+x+1}-x&=\dfrac{\left(\sqrt{x^2+x+1}-x\right)\left(\sqrt{x^2+x+1}+x\right)}{\sqrt{x^2+x+1}+x} \\
&=\dfrac{\left(\sqrt{x^2+x+1}\right)^2-x^2}{\sqrt{x^2+x+1}+x} \\
&=\dfrac{x^2+x+1-x^2}{\sqrt{x^2+x+1}+x} \\
&=\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}+x} \\
&=\dfrac{x\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}{\sqrt{x^2\left(1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)}+x} \\
&=\dfrac{x\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}{x\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}+x}\\&=\dfrac{x\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}{x(\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}+1)} \\&=\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}{(\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}+1)}
\end{aligned}$$
Ainsi, $$\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x^2+x+1}-x=\lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}+1}$$
Notons que $$\lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}=\dfrac{\lim_{x \rightarrow \infty} f_1(x)}{\lim_{x \rightarrow \infty} f_2(x)}$$
et que $$\lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{1}{x}=\lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{1}{x^2}=0$$
Posons $$f_1(x)= 1+\dfrac{1}{x}$$
On a $$\lim_{x \rightarrow \infty} f_1(x) = 1 + 0 = 1$$
Posons $$f_2(x)= \sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}+1$$
On a $$\lim_{x \rightarrow \infty} f_2(x) = \sqrt{1} + 1 = 2$$
Par conséquent, on a $$\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x^2+x+1}-x = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f_1(x)}{f_2(x)} = \dfrac{1}{2}. $$